Febrero 2013: Geometría flexible con Polifieltros 3D
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Escrito por José Luis Rodríguez Blancas (Universidad de Almería)   
Miércoles 06 de Febrero de 2013
Geometría flexible con Polifieltros 3D
Nuestro más sincero agradecimiento al autor de esta exposición:
por permitirnos incluirla dentro de las exposiciones virtuales de DivulgaMAT y que todos podamos disfrutar de su contenido.

PRESENTACIÓN

Polifieltros 3D es un nuevo juego educativo que consiste en montar figuras geométricas con piezas de fieltro que tienen velcro convenientemente cosido en sus bordes. Sólidos platónicos, poliedros truncados y estrellados, sólidos arquimedianos, deltaedros, mosaicos de distintos tipos, superficies topológicas como la cinta de Moebius, el toro o la botella de Klein, fractales como el tetraedro de Sierpinski o la esponja de Menger, son algunas de las figuras que se pueden montar con este juego.


VENTAJAS DEL USO DE ESTE JUEGO EN EL AULA

Este juego educativo nos parece ideal para usarlo en el aula de matemáticas, según hemos constatado ya en diversos centros educativos y jornadas de divulgación científica con estudiantes de distintos niveles. Por supuesto, está pensado también para jugar en casa sólo, en familia o con amigos.

A continuación os describimos algunas de las ventajas que disfruta este nuevo juego en base a nuestra propia experiencia:

  • Contiene figuras variadas de distintos grados de dificultad.
  • Fortalece el pensamiento geométrico en el espacio, dando pie al profesorado a explicar conceptos más complejos de geometría relacionados con las figuras.
  • Es un buen complemento a la geometría con papel o cartulina, y puede combinarse con otros juegos de construcción, como ZOME, Polydron, Geomag, etc.
  • El fieltro es flexible, se retuerce y dobla mejor que el papel o la cartulina, permitiendo al alumnado experimentar con bastantes figuras (incluso, distintas a las habituales), e incentivando así su creatividad e imaginación.
  • Al no necesitar pegamento, las figuras pueden montarse y desmontarse tantas veces como se quiera.
  • La rapidez con la que se montan y desmontan las figuras, en comparación con otros juegos similares, constituye sin duda una de las grandes ventajas de este juego, pues permite aprender más conceptos geométricos en menor tiempo.
  • La mayoría de las figuras necesitan más de dos personas para montarse, lo que induce a la colaboración, coordinación e interacción entre el alumnado.

A continuación os dejamos fotos de las figuras que hemos montado con este juego.

ÍNDICE

  1. Icosín
  2. Origami
  3. Sólidos platónicos y sus poliedros estrellados
  4. Deltaedros
  5. FIexibiIidad y Simetrías
  6. PoIiedros arquimedianos
  7. Transformers
  8. Mosaicos
  9. Mosaicos aperiódicos de Penrose
  10. Superficies
  11. Fractales

1. ICOSÍN

Con el desarrollo plano de un icosaedro (1ª imagen debajo del párrafo), se pueden formar cientos de figuras distintas, algunas con apariencias de cosas o animales que nos son familiares. En las siguientes fotos vemos un icosaedro, una rueda, una corona, una muela, una pipa, un teléfono, un pato con dos cabezas, un elefante, una paloma, una cola de pavo, una canoa y un croissant.

Geometría flexible con Polifieltros 3D

2. ORIGAMI

La pajarita se consigue de forma similar a la de papel, cosiendo en paralelo dos tiras de velero, una hembra y uno macho, allá donde queramos que se doble la tela. De esta manera, hasta un niño pequeño puede montar fácilmente una pajarita.

Geometría flexible con Polifieltros 3D

3. SÓLlDOS PLATÓNICOS Y SUS POLIEDROS ESTRELLADOS

Cualquier desarrollo plano de cualquier figura geométrica que se realiza en las aulas con papel o cartulina, puede modelarse en fieltro también, con velero pegado en los bordes, como el icosaedro que hemos mostrado antes en el apartado 1. Los sencillos cuerpos platónicos, tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro, son los que normalmente se empiezan a construir en los primeros cursos.

Geometría flexible con Polifieltros 3D

A medida que el niño comprende estos poliedros básicos, se puede continuar con poliedros más complejos como los poliedros estrellados. A continuación os mostramos el dodecaedro y su dodecaedro estrellado, también el icosaedro con su correspondiente icosaedro estrellado.

Geometría flexible con Polifieltros 3D

4. DELTAEDROS

El juego contiene también piezas separadas que el niño/a debe unir para montar figuras más complejas. Los deltaedros, por ejemplo, son poliedros que están formados por triángulos equiláteros. Con triángulos de fieltro se pueden construir infinitos deltaedros de colores. El modelaje de superficies con triángulos y otras tantas figuras que veremos en el apartado 10 es un aliciente para el niño o niña que desarrollará su aptitud diseñadora. Pueden formarse también con rombos (unión de dos triángulos equiláteros). En la primera imagen vemos un tetraedro, un icosaedro y un octaedro formado por rombos de colores.

Pero estos son solamente ejemplos, podemos formar también los 8 deltaedros convexos, y por supuesto, deltaedros no convexos como el octaedro estrellado.

Geometría flexible con Polifieltros 3D

También otras figuras libres como estas espirales.

Geometría flexible con Polifieltros 3D

En fin, como se puede apreciar, las posibilidades son infinitas, y más si las combinamos con otros polígonos.

Las tres fotos siguientes muestran, por ejemplo, dos maneras equivalentes de formar la tercera estelación del icosaedro: la primera con hexágonos rojos y rombos naranjas, y otra con rombos lilas y naranjas. La flexibilidad del material nos permite meter y sacar las puntas del poliedro fácilmente, algo difícil de realizar con las correspondientes figuras de papel u otros juegos de construcción similares.

Geometría flexible con Polifieltros 3D

5. FLEXIBILIDAD Y SIMETRÍAS

Como en la figura anterior, aprovechamos la flexibilidad del material para ver fácilmente, por ejemplo, las simetrías del dodecaedro rómbico. Este poliedro es bien conocido por tese lar el espacio euclídeo, disponiéndose exactamente como las celdas de un panal de abejas.

Doblando hacia adentro convenientemente diferentes vértices o diagonales de los rombos (cosidas en amarillo o naranja), se obtienen poliedros no convexos con forma de deltaedro, cubo y octaedro. Esto es más difícil de realizar con modelos de papel. Este sencillo ejemplo nos sugiere las posibilidades que adquiere este juego al poder manipular las figuras como queramos.

Geometría flexible con Polifieltros 3D

6. POLIEDROS ARQUIMEDIANOS

Uniendo polígonos regulares, siguiendo la misma sucesión de polígonos en cada vértice, se pueden construir los 15 poliedros arquimedianos. Los primas y antiprismas pueden tener como base cualquier polígono regular, y por tanto obtenemos figuras con simetrías de cualquier orden. El tetraedro truncado se obtiene al truncar los vértices de un tetraedro y tiene las mismas simetrías del tetraedro.

Aquí lo obtenemos uniendo 4 hexágonos y 4 triángulos de fieltro, con velcro cosido en los bordes. Éstos junto con el resto de poliedros arquimedianos los mostramos en la tabla siguiente.

Geometría flexible con Polifieltros 3D

7. TRANSFORMERS

"Transformers" es una familia de figuras flexibles, inspirada en el dodecaedro rómbico y su flexibilidad para transformarse.
Ahora, con 24 deltoides podemos formar un cubo, o un octaedro, que pueden transformarse a su vez en distintas figuras poliédricas, como el tetraedro, el cubo, el octaedro o el cuboctaedro, entre otros. ¡Esto es sólo posible con Polifieltros 3D!

Geometría flexible con Polifieltros 3D

En las últimas figuras, vemos la transformación entre el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico, a partir de una figura que contiene 48 deltoides, 24 pequeños y 24 grandes, de donde podemos obtener también un inesperado rombicuboctaedro. Por supuesto el niño puede jugar con la simetría de los colores, como ocurre en la última imagen.


8. MOSAICOS

Se pueden formar todo tipo de mosaicos con piezas que tengan cosido velcro en los bordes, siguiendo patrones de regularidad o no.
En las fotos siguientes, mostramos un mosaico semiregular del tipo 3,4,6,4, análogo a los poliedros arquimedianos, esto es que alrededor de cada vértice aparecen ordenados un triángulo, un cuadrado, un hexágono y un cuadrado. El aliciente de hacer estos mosaicos con piezas de fieltro, es que los niños/as pueden formar bonitos vestidos o disfraces geométricos durante el juego. El segundo vestido se obtiene a partir de la teselación semiregular 3,3,4,3,4.

Geometría flexible con Polifieltros 3D

Las posibilidades de realizar estos diseños divertidos son infinitas, como por ejemplo, ¡decorar un sofá!. Incluímos a continuación un listado de los mosaicos regulares, semiregulares o demiregulares extraído de [MathWorld--A Wolfram Web Resource] que permitirá guiar al niño/a, inspirarse y elegir entre variados modelos.

Mosaicos regulares

Geometría flexible con Polifieltros 3D

Mosaicos semiregulares

Geometría flexible con Polifieltros 3D

Mosaicos demiregulares

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9. MOSAICOS APERIÓDICOS DE PENROSE

Las reglas para unir las piezas, el dardo y la cometa, en los famosos mosaicos de Penrose (ver ejemplo en la 1ª foto de la izda.) se garantizan cosiendo los velcros macho y hembra convenientemente en el borde. De este modo, hasta niños de primer ciclo de primaria serán capaces de montar preciosos mosaicos de Penrose. Con más edad, podrán también doblarlos si quieren al final, para formar bonitas figuras tridimensionales, incluso curvadas, como jarrones, almohadas, etc. o mosaicos en los que se permiten valles y montañas. Esta modalidad del juego no es posible con otras variantes de este juego, donde las piezas son de plástico o madera.

Geometría flexible con Polifieltros 3D

10. SUPERFICIES

Conos, cilindros, cintas de Moebius, helicoides, etc. pueden construirse con fieltro y velcro cosido en los bordes, pero lo más interesante de este juego es que se pueden construir triangulaciones (o parcelaciones con polígonos) de todo tipo de superficies. En las fotos os mostramos un toro de Stewart (y en otra foto, dos de ellos enlazados). En las últimas fotos mostramos un modelo con triángulos y cuadrados de la botella de Klein.

Geometría flexible con Polifieltros 3D

11. FRACTALES

El niño o niña podrá construir el famoso triángulo de Sierpinski, doblando simplemente pestañas en el siguiente modelo de fieltro que presentamos aquí, o 3 de ellos de diferentes colores para realizar una iteración más.

Geometría flexible con Polifieltros 3D

El cosido de velcro en los bordes, permite formar también la 2a iteración del tetraedro de Sierpinski, así como la 3a iteración combinando 4 de copias de distintos colores. Sobra decir que este modelo puede hacerse para la primera iteración o para iteraciones superiores.

Geometría flexible con Polifieltros 3D
Geometría flexible con Polifieltros 3D

La esponja de Menger es mucho más complicada de elaborar con fieltro. De momento hemos obtenido la primera iteración.

Geometría flexible con Polifieltros 3D

Este modelo está formado tan solo por dos piezas, tal y como se muestra en la última imagen, el cubo exterior donde se han abierto "ventanas" en el centro de cada cara, y la cruceta interior modelada por una tira rectangular con entrantes y salientes. Podéis ver cómo se desmonta poco a poco en el video "stop motion" http://youtu.be/oQevUDo91FQ.

 
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