Mayo 2006: ¿Por qué las Matemáticas? |
Lunes 01 de Mayo de 2006 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
La exposición ¿Por qué las Matemáticas? con sus imágenes, textos, experimentos, juegos, videos,... (junto a las exposiciones "Arte fractal: belleza y matemáticas" y "Demoscene: Matemáticas en movimiento") podrá verse en el Centro Cultural Conde Duque (Madrid), del 17 de Agosto al 29 de Octubre de 2006. Se organiza con motivo del Congreso Internacional de Matemáticos Madrid 2006. En DivulgaMAT seguiremos informando sobre esta exposición. Introducción PÁGINA WEB DE LA EXPOSICIÓN: http://www.mathex.org ¿POR QUÉ UNA EXPOSICIÓN DE MATEMÁTICAS?
ORIGEN DEL PROYECTO PÚBLICO AL QUE VA DIRIGIDA FORMATO PROPUESTO CONTENIDO DE LA EXPOSICIÓN LOS TEMAS LOS COLABORADORES
EL GRUPO DE TRABAJO REFERENCIAS Centre.Sciences, CCSTI de la región Centro El laboratorio de investigación sobre la Educación de la Universidad Tokai (Japón) La Sociedad Matemática Europea El grupo de animación del Año Mundial de las Matemáticas Índice de la exposición
1. Leer la naturaleza 1.1. Formas en la naturaleza ¿Por qué una burbuja de jabón que flota en el aire parece una esfera perfecta? ¿Por qué la naturaleza crea estructuras regulares y movimientos tan predecibles como los gravitatorios? Para responder, los matemáticos utilizan modelos sencillos: círculos y esferas, cuadrados y cubos, hélices, cónicas... Desde lo infinitamente grande a lo infinitamente pequeño, del telescopio al microscopio, la naturaleza revela formas cada vez más complejas: espirales, fractales... Las matemáticas, los números, las ecuaciones diferenciales, nos permiten entender mejor fenómenos tan complejos como la vida en la Tierra o la estructura del Universo. 1.2. ¿Es el mundo fractal? ¿Cómo se puede representar la forma de un río serpenteante o de una costa escarpada? ¿Y la forma de una nube, una llama o una soldadura? ¿Es posible determinar las dimensiones de las galaxias en el Universo? ¿Se pueden representar las intrincadas ramificaciones de la actividad en Internet? Observa una hoja de helecho; está construida por repetición del mismo motivo a escalas cada vez más pequeñas. Este tipo de estructura, que aparece a menudo en la naturaleza, llevó a Benoît Mandelbrot desarrollar la Geometría Fractal. Un fractal es una forma autosemejante, cuyas partes reproducen una versión más pequeña del todo. • Benoît Mandelbrot (nacido en 1924 en Varsovia, Polonia) 1.3. ¡Todos en órbita! ¿Qué trayectorias siguen los planetas, los satélites naturales o artificiales de nuestro universo? Kepler demostró que estas órbitas son cónicas: elipses, parábolas, hipérbolas. Los cometas que reaparecen cada cierto tiempo tienen también órbitas elípticas. Un satélite se puede librar de la atracción del sistema solar abandonando su órbita elíptica y siguiendo una trayectoria hiperbólica. Con el fin de seguir y dirigir los movimientos de muchos satélites artificiales que rodean la Tierra, se utilizan rosarios de antenas parabólicas.
2. Teselaciones y simetrías 2.1. Técnicas de embaldosado ¿Se puede recubrir un suelo con baldosas de cualquier forma sin dejar ningún hueco ni superponiéndolas? Se puede hacer con muchas formas geométricas, pero no con todas, por ejemplo un pentágono regular. Los modelos de embaldosados que se repiten por translación son bien conocidos y sus simetrías internas permiten distinguir 17 tipos diferentes. La investigación de estos tipos de teselaciones y sus simetrías se basan en la Teoría de Grupos concebida por Evariste Galois. Si queremos embaldosar con más libertad, de forma no periódica, la investigación se halla todavía lejos de estar terminada. Entonces, ¿es posible embaldosar utilizando sólo una forma? ¡Es un misterio! Las teselaciones encuentran aplicaciones matemáticas, en cristalografía, teoría de códigos, física de partículas...
2.2. ¿Es simétrica la naturaleza? ¿Por qué la doble hélice del ADN siempre gira en la misma dirección? ¿Por qué un rostro humano y su reflejo en el espejo no son superponibles? Desde lo infinitamente pequeño hasta lo infinitamente grande, las simetrías aparecen en muchos modelos matemáticos. Sin embargo, la naturaleza raras veces presenta simetrías perfectas. Algunas se nos escapan y otras son idóneas para asumirlas como perfectas. Son mucho más frecuentes las formas vivas que giran hacia la derecha. Esta tendencia a la asimetría podría explicarse por el azar o por el propio carácter asimétrico de las fuerzas físicas: la pregunta sigue sin respuesta. 2.3. ¿Dónde estoy? ¿Cuántos satélites necesitamos alrededor de la Tierra para saber donde estamos en todo momento? Tres son suficientes: miden su distancia al objeto que siguen (un cuarto satélite proporciona una corrección que mejora la precisión). Si el objeto a localizar está equipado con un receptor portátil, comunica con los satélites mediante ondas electromagnéticas. Se encuentra en la intersección de 3 esferas centradas en cada uno de los satélites y cuyo radio es la distancia al objeto. El sistema GPS (Global Positioning System), el sistema ruso y pronto el sistema Europeo Galileo nos permiten saber dónde nos encontramos en todo momento. 3. Llenar el espacio 3.1. Apilar naranjas ¿Cómo apilar naranjas ocupando el mínimo volumen posible? En los mostradores, las naranjas ocupan el 74% del espacio. Se trata del "empaquetado cúbico de cara centrada" bien conocido por los cristalógrafos. Kepler pensaba ya hace cuatro siglos, que esta disposición era la mejor. No se pudo probar hasta 1998, mediante el estudio de más de 5.000 casos particulares con la ayuda de ordenadores. Este problema de la vida cotidiana cuenta con aplicaciones que van desde el estudio de estructuras cristalinas a la teoría de códigos informáticos. Pero, si deseamos llenar una caja de una forma cualquiera, el problema continúa sin tener una solución general.
3.2. La esfera: del átomo a los cristales La bóveda celeste, la Tierra, los átomos y las partículas elementales... ¿Por qué se utiliza a menudo la esfera (entera o en parte) para representar formas naturales? A escala microscópica, algunos fenómenos naturales pueden representarse mediante movimientos de esferas indeformables, que se mueven libremente o chocan sin pérdida de energía. Si los átomos se representan mediante esferas, los cristales se consideran como pilas de átomos ordenadas, y casi siempre periódicas. Estos fenómenos son como elementos de un juego de billar infinito en tres dimensiones: estos modelos permiten el estudio de gases, líquidos y algunos sólidos. 3.3. El apilamiento: un problema complejo ¿Qué ocupa menos volumen, un kilo de café en grano o un kilo de café molido? Este pequeño problema pasa a ser importante cuando lo que se quiere es transportar toneladas de café... El problema se convierte en muy complejo cuando los artículos son de diferentes tamaños y formas y deben transportarse en contenedores muy definidos. A la inversa, ¿de qué manera se pueden encontrar las mejores dimensiones para que los objetos ocupen un volumen determinado? Estos problemas, que dependen también del peso de los objetos, del coste del transporte, del gasto de almacenamiento, etc., aún no han sido resueltos. 4. Unir mediante una línea 4.1. Puntos y líneas Königsberg, 1736. ¿Es posible atravesar la ciudad cruzando cada uno de sus siete puentes una vez y sólo una vez? Para solucionar este problema, Euler extrae la información esencial: la ciudad está dividida en cuatro zonas representadas por cuatro puntos, conectados mediante siete líneas que simbolizan los siete puentes. El problema se transforma entonces en el siguiente: en este esquema, ¿existe un camino que pase sólo una vez por cada línea? Es el inicio de la teoría de los grafos. La respuesta de Euler fue: depende de cuántos puntos existan en los que concurren un número impar de líneas. Sólo existe solución si dicho número es igual a cero o dos.
4.2. ¡Cuatro colores bastan! ¿Cuántos colores necesitamos para colorear un mapa, de manera que dos países adyacentes tengan colores distintos? La teoría de grafos nos permite representar este problema y reducir el número de casos por estudiar. Gracias a los ordenadores, se ha podido analizar un gran número de situaciones. La teoría de grafos se utiliza para representar y estudiar situaciones muy concretas como redes de telecomunicaciones, circuitos electrónicos, redes de distribución -agua, gas, electricidad, correos...- y muchos otros problemas de logística, transporte y producción. 4.3. ¿Dígame? En una red de comunicaciones locales ¿cómo se realizan tus llamadas telefónicas? Viajan de repetidor en repetidor hasta la central más cercana a tu interlocutor que será avisado por un tono. En una ciudad, estas centrales de la red telefónica están ubicadas de la mejor manera posible teniendo en cuenta la distribución irregular de las calles. Cada central tiene asignada una zona de proximidad de la llamada en forma de polígono conectado con los demás vecinos. Estas zonas forman una teselación de la ciudad, denominada mosaico de Voronoï. Si se conectan las centrales de zonas vecinas, se obtiene un grafo que representa los cables por los que viaja la llamada. Los grafos, la teoría de la probabilidad y la geometría se unen para permitir la comunicación en condiciones óptimas. 5. ¿Por qué calcular? 5.1. ¡Mi ordenador me ha engañado! ¿Qué números utilizamos en la vida cotidiana? Para contar, hemos utilizado números enteros, después decimales, números reales e incluso complejos. ¿Qué pasa hoy en día? ¿Qué sucede si utilizamos una calculadora o un ordenador potente? En el mercado, es preferible saber hacer cálculos mentales rápidos. El propio ordenador sólo utiliza números decimales con un número limitado de cifras. Las leyes matemáticas ya no se respetan. Tanto el contable como el ingeniero aeronáutico, deben controlar los errores de aproximación, desde lo infinitamente pequeño hasta lo infinitamente grande. En este ámbito, las herramientas informáticas no son del todo fiables. 5.2. El comercio electrónico ¿es seguro? ¿Se puede comprar en Internet de manera totalmente segura? Con el desarrollo de la web, la criptografía –la ciencia de la codificación- se ha transformado en una herramienta fundamental para la protección de los bancos y de las compras electrónicas. El secreto de nuestras tarjetas de identificación bancaria se basa en números de más de 100 cifras, producto de 2 números primos* indispensables para la decodificación. Pero, hoy en día, el avance de la informática permite descubrir, cada vez más rápido, los divisores de números cada vez mayores... Los matemáticos, los físicos y los informáticos buscan nuevos métodos de codificación seguros, utilizando, en particular, las extrañas leyes de la física cuántica. * Un entero es "primo" si sólo es divisible por sí mismo y por la unidad. Los primeros ejemplos son: 2, 3 ,5 ,7 ,11, 13, 17, 19... y hay una infinidad. 5.3. Restauración en Corfú ¿Cómo recuperar imágenes digitales que se hayan dañado por problemas con la cámara de fotos, la transmisión o la recepción? ¿Cómo enviar o recibir imágenes de buena calidad por Internet y a alta velocidad? Para ello, los matemáticos crean algoritmos de restauración de imágenes que se pueden ilustrar fácilmente mediante métodos cartográficos: la intensidad luminosa de cada píxel de la imagen se traduce por una “altura”. La imagen se traduce mediante un mapa de relieve donde el ruido produce un relieve desigual; éste último se regulariza conservando las principales “líneas de nivel”, y así se puede recuperar una imagen sin interferencias. 6. Construir 6.1. Curvas para una conducción suave En los accesos de las autopistas, ¿cómo se puede construir una vía que resulte más suave y segura para una conducción más eficaz? Al circular en un automóvil, cuando se viaja a velocidad constante y el volante se gira de manera uniforme, el vehículo sigue una curva que se denomina clotoide (o espiral de Cornu). Este trazado reduce las fuerzas centrífugas y permite unir suavemente una línea recta a una curva. Mediante la utilización de la clotoide se consigue una conducción más sencilla y eficaz. Esta curva también se utiliza en las líneas ferroviarias, las líneas de metro, las pistas de patinaje, etc. 6.2. La genialidad de los puentes ¿Cómo construir puentes más largos y cada vez más audaces? Los primeros puentes utilizaban madera y piedra. Los puentes de hierro, acero y hormigón aparecieron más tarde. Surgieron nuevos problemas: el comportamiento dinámico de los puentes colgantes, la complejidad de gestionar la construcción de carreteras. En la actualidad, los ordenadores y su potencia de cálculo permiten resolver estos problemas, paso a paso, consiguiendo construir puentes que superan todos los récords. El puente Storebelt East Bridge en Dinamarca (con una longitud de 1.624 m), el viaducto de Millau en Francia (343 m de altura y una longitud de 2.460 m),... 6.3. El motor rotatorio: ¡revolucionario! Los motores de pistón funcionan con un movimiento ascendente y descendente. En el caso de los motores rotatorios, la energía se produce mediante rotación. ¿Cómo se producen la compresión y combustión en estos tipos de motores? El volumen de gas en cada cámara varía con los movimientos del pistón. La carcasa tiene forma de una “epitrocoide”, una curva trazada por un punto dentro de un disco que rueda en el exterior de un círculo fijo. Un rotor triangular gira alrededor de un eje, uno de cuyos lados toca la carcasa en todo momento. El espacio entre la carcasa y el rotor se divide en tres cámaras de combustión. 7. Calculando 7.1. ¿Estamos todos en la media? ¿Por qué es tan conocida la forma de esta curva? ¿Por qué resulta fundamental para la estadística? Si clasificamos los habitantes de una ciudad o un país, las hojas de un árbol..., de acuerdo con una característica (tamaño, peso, CI, nivel de competencia...), cuanto más nos aproximemos a la media para cada criterio considerado, más individuos se encontrarán. Cuanto más nos alejemos de la media, menos individuos habrá. En los extremos, prácticamente no encontraremos ningún individuo. La representación gráfica de este hecho es la llamada curva de Gauss. El carácter universal de esta curva es consecuencia de un resultado de Laplace, que dice que la distribución gaussiana es la acumulación de muchos pequeños factores independientes.
7.2. ¿Cómo pedir un préstamo? Deseamos solicitar un préstamo de 10.000 €uros a nuestro banco. ¿Resulta más ventajoso solicitar un préstamo a tipo fijo o a tipo variable? Sin el álgebra, ¿cómo podemos saberlo? Las matemáticas nos ayudan a comprender e interpretar los contratos financieros. Ignorarlas sería quedarse indefenso frente a las prácticas comerciales. La situación es idéntica, pero más complicada, en el caso de las inversiones. Depositemos 10.000 €uros en el banco: a cambio éste se compromete a devolvernos dicha suma dentro de unos años con intereses – eventualmente - que dependerán de la evolución del índice monetario y del mercado bursátil. ¿Quién sale ganando? 7.3. ¿Ganar el Euromillón? Receta: Coja un avión con destino a Alemania* 1. Consiga una guía telefónica de ese país Acaba usted de ganar el Euromillón
8. Optimización 8.1. La naturaleza es ahorradora Una pompa de jabón es esférica; los cuerpos estelares son prácticamente esféricos. ¿Por qué? A área constante, un círculo posee el perímetro más pequeño. Una masa líquida en equilibrio relativo, una gota de aceite en suspensión o en rotación en un líquido, los planetas en formación, adoptan formas esféricas, ya sean únicas o múltiples. Estas formas corresponden a la mínima energía potencial, que es proporcional al área de los cuerpos. 8.2. La Tierra bajo vigilancia ¿Cómo puede encontrarse una buena representación de la Tierra? Eso depende de lo que uno quiera hacer con ella. Después de haber elaborado proyecciones cartográficas adaptadas, por ejemplo, a la navegación, hoy tratamos de utilizar las imágenes tomadas por los satélites o por aviones para optimizar las labores de reconocimiento o la gestión de recursos. Y es que cada uno de los píxeles de una imagen está diciéndonos cómo es el terreno: rocoso, oceánico, fluvial, forestal, de cultivo... Combinando los datos suministrados por los instrumentos de medición (sensores espaciales y espectrales de alta resolución), es posible obtener algoritmos de aprendizaje. Los modelos así construidos son luego validados por observaciones sobre el terreno. 8.3. Las formas más eficientes ¿Por qué se usa cada vez más la estructura de panal de abejas? ¿Acaso porque las abejas han encontrado la solución óptima? Los materiales diseñados a partir de la estructura de panal poseen propiedades llenas de ventajas, como ser livianas, fuertes y rígidas. Tales formas se utilizan en la construcción del Airbus A380, de los trenes de alta velocidad, de las paredes de los satélites, etc. Con cartón o polivinilo, el modelo de panal de abeja se emplea habitualmente en la construcción de puertas y paletas de transporte. Con todo, la celda de un panal no es la forma que más eficientemente ocupa un volumen dado. Se han encontrado mejores sistemas, pero la forma más eficaz sigue aún sin conocerse. 9. Demostrando 9.1. Pruebas y demostraciones ¿Existe la duda en matemáticas? ¿Es posible darse por satisfecho con una serie de hipótesis cuando éstas se verifican en un 99%? Las demostraciones constituyen la base de la actividad de los matemáticos y, de hecho, es lo que verdaderamente distingue a la suya de otras actividades. Las primeras demostraciones eran sencillas, estaban escritas en unas pocas líneas y podía comprenderlas todo aquél que tuviera estudios medios. Hoy en día, existen demostraciones que ocupan cientos de páginas, para las que hay que hacer uso de ordenadores y de las que sólo pueden emitir un dictamen un reducido grupo de especialistas. La complejidad del mundo plantea cada vez más preguntas a los matemáticos, que para responderlas deben enunciar conjeturas y demostrar a continuación lo adecuado de las mismas. 9.2. De Pitágoras a Wiles ¿Cómo demostrar hipótesis que parecen verdaderas? ¿Existen números enteros tales que x2 + y2 = z2? ¿O tales que xn + yn = zn, cuando n es un entero mayor que 2? Los griegos fueron los primeros que trataron de resolver estos problemas. Así, Pitágoras dio su nombre al teorema sobre “el cuadrado de la hipotenusa...” del que Euclides formuló la demostración más antigua que se conoce. Más tarde, Fermat afirmó que este resultado no se podía generalizar. ¡Y Wiles demostró esta conjetura en 1994! Para ello, se sirvió de los últimos trabajos de investigación realizados en áreas muy diversas de las matemáticas. En general, los matemáticos se esfuerzan en llamar nuestra atención sobre los grandes problemas aún por resolver.
9.3. Verdadero... y sin embargo indemostrable ¿Podemos siempre probar una cosa de la que sabemos su veracidad? En 1931, en un genuino golpe de teatro, Kurt Gödel dio una respuesta negativa a esta pregunta con su famoso teorema de la “incompletitud”. Gödel demostró que las nociones de verdad y de demostrabilidad no son coincidentes, al descubrir una fórmula sobre números enteros que es verdadera, pero de la que sin embargo no es posible ofrecer una demostración en términos de aritmética elemental. Para mayor sorpresa de todos, Gödel mostró también, en el mismo espíritu, que en el ámbito de la aritmética no es posible ni refutar ni probar que jamás vaya a llegarse a una contradicción. La aritmética elemental es además indecidible. Esto implica, por ejemplo, que resulta imposible crear un programa informático capaz de comprobar si una determinada fórmula sobre números enteros es o no verdadera.
Más información sobre la exposición en el Conde Duque Organizadores y colaboradores.
Galería de Imágenes. Para organizar la visita de tu centro. Para organizar la visita de tu centro a la triple exposición "Arte Fractal: belleza y matemáticas", "Demoscene: matemáticas en movimiento" y "¿Por qué las Matemáticas?" en el C. C. Conde Duque: CENTROS EDUCATIVOS: Horario de Exposiciones. Martes a sábado de 10 a 21 h. HORARIO DE VERANO (24 de Julio - 20 de Septiembre) Domicilio: Conde Duque, 9. Madrid 28015 AUTOBUSES: Circular, 1, 2, 21, 44, 74 y 149 Videos que se van a exhibir durante la exposición. A. La serie de TVE (La aventura del saber) “Más por menos” (guión y presentación Antonio Pérez Sanz):
(Más Información: www.rtve.es y platea.pntic.mec.es/aperez4/) B. La serie de TVE (la aventura del saber) “Universo Matemático” (guión y presentación Antonio Pérez Sanz):
(Más Información: www.rtve.es y platea.pntic.mec.es/aperez4/) C. Videos de la UNED:
(Más Información: teleuned.uned.es) D. Videos de Michele Emmer:
(Más Información: www.mat.uniroma1.it/people/emmer/ y quien desee adquirir los DVD's de Michele Emmer entre aquí) |