Recreaciones matemáticas 4
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Recreaciones matemáticas 4
Categoría: Matemáticas recreativas
Autor:
Edouard Lucas
Editorial:
Nivola
Año de publicación: 
2008
Nº de hojas:
189
ISBN:
978-84-96566-78-1

Uno de los aspectos positivos más destacables que tiene Internet es la posibilidad de intercambiar opiniones y experiencias con las personas que ofrecen información a través de sus portales de un modo sencillo, rápido y relativamente económico, Eduard Lucaspermitiendo además enriquecer, corroborar o desmentir dicha información mediante diferentes recursos (blogs, chats, e-mails). Cuando Eduard Lucas (la imagen está tomada de Wikipedia) escribió sus artículos y las recreaciones que reseñamos, tenía inevitablemente que esperar a su edición, distribución, lectura, escritura de cartas con aportaciones a los problemas que propone, recepción de éstas, y una nueva edición (no siempre posible) de la obra, antes de poder hacerlas públicas. En ese proceso podían perfectamente transcurrir años, cuando no quedaban perdidas en el olvido para siempre. Es muy probable que algunas buenas ideas hallan acabado así. Como hemos venido comprobando en la lectura de esta obra, Lucas fue incluyendo, siempre que fueran relevantes, las colaboraciones de sus lectores a partir del segundo volumen, dando siempre cuenta de la procedencia de las mismas. Sin duda, es una de las características esenciales que ha de tener un libro de divulgación, además de su amenidad: la posibilidad de interactuar con los lectores. (Hoy no todo son ventajas. No recibir respuesta alguna sobre reseñas como la presente, puede también ser frustrante: o nadie las lee, o no resultan de ningún interés)

Este segundo volumen póstumo (seguramente no hubiera sido el último de no fallecer el autor inesperadamente) continúa con ocho nuevos capítulos dedicados a otras tantas recreaciones, que, lejos de haber quedado obsoletas (algunas formas de resolver las cuestiones lo son, aunque no por ello dejan de ser motivadoras e ilustrativas; recordemos que su redacción se realiza hacia 1891) resultan al menos curiosas, algunas por su enfoque didáctico. Por ejemplo la cuestión del calendario de la primera recreación, (El Calendario Perpetuo y el cálculo automático de residuos), cuyas diferentes propuestas a lo largo de la Historia obedecen a un problema de aproximación al movimiento terrestre. El capítulo incluye variados apuntes históricos, muy oportunamente puntualizados con unas clarificadoras y escuetas notas del autor de la traducción. Posteriormente se explica el fundamento de un calendario perpetuo (basado en congruencias) describiéndose la utilización de unas tablillas con las que conocer el día de la semana de una fecha cualquiera sin tener que realizar operación matemática alguna. El procedimiento es realmente llamativo, aunque sinceramente, para el que esto escribe, resulta mucho menos engorroso (e incluso sencillo; hay que emplear demasiadas regletas) el cálculo de los restos de las divisiones. Podría resultar útil para organizar una actividad en el aula de secundaria orientada a decidir qué método (uso de regletas o cálculo matemático) es más práctico.

Los dos capítulos que siguen (Aritmética con bolas y Aritmética con fichas) proporcionan un argumento para pensar que la Aritmética pudo preceder históricamente a la Geometría. En el primero, se presentan la suma y el producto de números, así como diferentes tipos de números (triangulares, cuadrados, pentagonales, poligonales, en general) mediante el uso de bolas. Lucas plantea una amplia variedad de resultados que relacionan todas estas clases de números (esos que habitualmente demostramos por inducción) verificándolos gráficamente. Deja planteados una decena de ejercicios, algunos realmente llamativos. En la siguiente recreación sustituye las bolas por fichas (regletas divididas en cubos de la misma altura y distintas longitudes). Combinando regletas forma cuadrículas con las que prueba resultados de Aritmética elemental, algunos presentados en el capítulo anterior, y otros inabordables mediante bolas. A continuación introduce los números piramidales (es más factible apilar cubos que bolas) y los relaciona con el método más eficaz de empaquetar esferas (en el caso que presenta, obuses; Lucas fue oficial de artillería en el ejercito francés durante la guerra contra Prusia), aunque centrándose únicamente en el conteo del número en formaciones piramidales de diferentes alturas.

Es curioso que Lucas no cite en ningún momento un resultado probado en 1815 por Cauchy sobre una conjetura planteada (¡cómo no!) por Fermat acerca de los números figurados: cualquier entero positivo puede expresarse como suma de tres números triangulares, de cuatro cuadrados, de cinco pentagonales, …, en general de n números n-gonales. Gauss sólo había logrado probarlo para triangulares y cuadrados.

En El juego del tres en raya en el siglo XIII, se plantea una variante del conocido juego del tres en raya, de mayor complejidad y aliciente (ya se sabe que el juego típico entre jugadores un poco avezados acaba siendo un tostón si ninguno se equivoca puesto que está abocado a mantener indefinidamente las tablas). En la tercera recreación del segundo volumen ya se presentó esta variante, procediéndose aquí a su análisis. Lucas afirma recuperarlo de un manuscrito del siglo XIII dedicado al ajedrez, el backgammon y el tres en raya, reproduciendo los veintiocho problemas que plantea aquel junto a su resolución. Básicamente el juego se compone de tres cuadrados concéntricos con 24 casillas unidas tres a tres mediante segmentos. Cada jugador dispone de nueve peones y el objetivo es colocar tres peones alineados (el tres en raya). Cuando un jugador lo logra, elimina un peón del adversario. El juego finaliza cuando a un jugador sólo le queden dos peones, perdiendo la partida.
           
No podía faltar uno de los entretenimientos más populares de la Historia: los cuadrados mágicos (Quinta recreación). Consciente de la amplia bibliografía existente sobre estas construcciones, Lucas centra el capítulo en los cuadrados de orden par (cuyos mecanismos de formación no son tan evidentes como los de orden impar), exponiendo el estudio realizado por Fermat en unos manuscritos desconocidos (y por tanto inéditos) hasta ese momento. Su método no es aritmético ni algebraico sino geométrico, proponiendo simetrías, desplazamientos, intercambios entre casillas, etc.

La Sexta recreación, La Geometría de redes y el problema del dominó, se presenta a partir de la siguiente pregunta: ¿de cuantas maneras es posible alinear las veintiocho fichas del dominó siguiendo la regla que rige el juego tradicional? Lucas califica su respuesta como difícil, y expone, sin dar indicación alguna (seguramente porque ya trató el asunto en la segunda recreación del segundo volumen), la solución a la que llegan dos de sus coetáneos mediante procedimientos distintos. El dominó es el nexo de unión con otra cuestión planteada en el segundo volumen de estas recreaciones, resuelta mediante lo que hoy denominamos grafo y que Lucas introduce como “geometría de redes”. En la segunda recreación del primer volumen, el autor introdujo el método que Euler propuso a la solución del problema de los puentes de Königsberg. Aquí recuerda algunos de los conceptos necesarios para utilizar estos métodos de razonamiento y propone una lista de ejercicios, entre ellos un problema relacionado con una fábula inventada,  El melón y la hormiga, en la que se pide calcular el número de recorridos distintos que una hormiga puede tomar para transitar por las doce estrías de un melón sin repetir ninguna y acabando en el punto de partida. Con esta cuestión introduce otras variantes de laberintos: rectilíneos, de uno o varios cruces, circulares, pentagonales, heptagonales, etc.

Otra de las cuestiones que más ha llamado la atención de matemáticos y no matemáticos (que en el fondo son los que dan popularidad al asunto)  desde su planteamiento y que no falta en prácticamente ninguno de los innumerables libros de matemática recreativa clásica, y aún hoy presente en artículos de revistas abordando algún matiz diferente, es el del coloreado de mapas (Séptima recreación: La geometría de regiones, el problema geográfico de los cuatro colores y las redes de puntos triples). Lucas comienza describiendo las formas que hay de dividir un plano (atendiendo al números de puntos concurrentes, el número de segmentos utilizados y el número de regiones), definiendo punto múltiple, conceptos y ejercicios sobre poliedros hasta plantear el famoso problema de los cuatro colores. Describe a continuación con entusiasmo la demostración propuesta en 1879 por Alfred Kempe (se hace bastante pesada su lectura, la verdad) hecho que no deja de extrañar ya que en 1890 se encuentra un error en esa prueba. Volviendo al asunto del que hablábamos al principio sobre la transmisión de la información, pudo suceder que Lucas no tuviera aún noticia de ese hecho cuando redactó esta recreación. En relación al célebre problema, véase el magnífico artículo ¿Cuatro colores son suficientes?, de nuestra compañera Marta Macho, tema de una de las conferencias del no menos destacable ciclo Un paseo por la Geometría organizado desde hace varios años por el Departamento de Matemáticas de la Universidad del País Vasco. Observando la cronología del problema podemos hacernos una idea de lo que Lucas pudo aportar en este capítulo teniendo en cuenta que fallece en 1891.

La última recreación, La máquina de andar, la más breve, es más una aplicación a la ingeniería que una recreación matemática. Describe el funcionamiento de un mecanismo que permite desplazar un objeto a través de una especie de zancos gracias al llamado paralelogramo articulado (tres lados móviles y uno fijo). Algunos juguetes infantiles utilizan mecanismos similares. No deja de ser una curiosidad, si bien la ocurrencia del autor de encuadrarlo como solución al atasco de tranvías o trenes en situaciones adversas (vías colapsadas por nieve u objetos que obstruyen el paso) resulta a día de hoy un tanto peregrina.

El libro se complementa con otros artículos de Lucas publicados en revistas junto a puntualizaciones y complementos a las recreaciones de los volúmenes anteriores: un estudio sobre el movimiento del caballo en el ajedrez del que el autor pretendía hacer una amplia recreación, divertimentos aritméticos (trucos para efectuar multiplicaciones mentalmente, curiosidades numéricas, planteamiento de problemas, cuadrados mágicos, etc.).

Cuatro volúmenes, por dar una idea de conjunto, a los que siempre poder recurrir como inspiración o como búsqueda de información, que no deben faltar por tanto a un buen aficionado a la matemática recreativa. Por algo los autores actuales que a escribir libros de estos se dedican, antes o después terminan recurriendo a clásicos como Eduard Lucas.

 Materias: Juegos, retos, problemas, aritmética, congruencias, cuadrados mágicos, redes, regiones.
 Autor de la reseña: Alfonso Jesús Población Sáez (Universidad de Valladolid)

 
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