¿Por qué ecuaciones? A este interrogante responde el autor al comienzo del libro: porque son el alma de las matemáticas, la ciencia y la tecnología y sin ellas nuestro mundo no existiría en la forma actual. Hay ecuaciones tanto de matemática pura como de matemática aplicada que han servido de fuerza motriz a la civilización humana durante miles de años.

El autor, el conocido matemático y prestigioso divulgador Ian Stewart, plantea un recorrido por 17 ecuaciones de las que unas revelan regularidades matemáticas y otras expresan leyes de la naturaleza. Recordamos algunos libros en su ya extenso currículum literario: ¿Es  Dios un geómetra?, Locos por las matemáticas, ¿Juega Dios a los dados?, ¿Cómo cortar un pastel?, La cuadratura del cuadrado o el más reciente Las matemáticas de la vida.

Con su impecable estilo divulgativo, claro y ameno, Ian Stewart nos invita aun recorrido por la historia de la ciencia y las matemáticas, recorrido que convierte en un auténtico homenaje a la matemática.  Expresiones como “La matemática es la fuerza unificadora“ o “El imprescindible valor de las matemáticas para representar la realidad” son una muestra de ello.

Incluso en los casos más complicados, donde la dificultad conceptual es mayor, plantea claramente los objetivos y la evolución del proceso obviando las dificultades técnicas  y primando el significado del resultado. Para cada ecuación se responde, antes de desarrollar el tema, a las preguntas: ¿Qué nos dice? ¿Por qué es importante? ¿Qué provocó?

Por supuesto, cada capítulo, el análisis de cada ecuación, es independiente de los demás, pudiéndose realizar una lectura selectiva eligiendo aquellos temas que el lector considere de su interés. Es difícil hacer una selección sobre la selección realizada por Ian Stewart, de manera que citaremos brevemente las diecisiete ecuaciones elegidas.

1.- El teorema de Pitágoras: del que resume su historia, destaca su utilidad para medir longitudes o distancias y lo enlaza con las geometrías no euclídeas.

2.- Logaritmos: Como un procedimiento eficaz para el cálculo de operaciones; su origen y propiedades. Incluso después de la aparición de los ordenadores son útiles en el análisis de distintos fenómenos como por ejemplo la desintegración radiactiva.

3.- Cálculo: bajo este título y la definición de derivada de una función se nos presenta a Newton, Leibnitz y sus predecesores en  el estudio del movimiento. Destaca que las leyes del movimiento de Newton no sólo proporcionaron un modo de calcular cómo se mueven los cuerpos, sino que nos llevaron a principios físicos profundos y generales, como las leyes de conservación. Y resalta su influencia decisiva en el mundo moderno: “como el destornillador, el cálculo es una herramienta simple e indispensable en la caja de herramientas de ingenieros y científicos”

4.- La ley de gravitación universal. Esta ley demostraba el enorme poder de las matemáticas para encontrar patrones escondidos en la naturaleza. Aunque posteriormente fue superada por la teoría de la relatividad de Einstein, todavía es fundamental para casi todos los propósitos prácticos. Y el recorrido por la historia que nos desvela este capítulo pone de manifiesto el nivel extraordinario del logro conseguido por Newton.

5.- Raíz cuadrada de -1. La creación de los números complejos dotó de métodos más potentes para comprender ondas, calor, electricidad y magnetismo. La potencia de las matemáticas quedaba una vez más de manifiesto: números imaginarios que describen fenómenos reales. Nos muestra también el relato histórico de la aparición de este tipo de números y su posterior evolución.

6.- Fórmula de Euler para los poliedros. Nos presenta  el inicio y desarrollo de una de las ramas de la matemática pura, la topología. Aunque afirma que la mayoría de las aplicaciones son indirectas, destaca que nos ayuda a comprender el funcionamiento de la molécula de la vida: el ADN.

7.- Distribución normal. Desde el inicio de los juegos de azar y el estudio de las probabilidades a la búsqueda de patrones estadísticos en los sucesos aleatorios. La campana de Gauss aparece en el análisis de muchas variables sociales o en teoría de errores. Los métodos estadísticos proporcionan herramientas para el análisis social, médico o de datos  científicos, pero también nos alerta del peligro que encierra la aplicación inconsciente, sin tener en cuenta las suposiciones existentes tras estos métodos.

8.- La ecuación de onda. En el origen de la ecuación de onda está el estudio del sonido y en el de éste el sonido creado por la  cuerda de un violín. Esto le sirve a Ian Stewart para defender el método matemático para abordar problemas reales: simplificar las condiciones para poder modelizar el problema de manera sencilla y transferir posteriormente la comprensión de esa situación a problemas más complejos. El recorrido abarca desde el análisis de los pitagóricos, pasando por Bernoulli y D’Alembert hasta su aplicación en el estudio de las ondas sísmicas.

9.- La transformada de Fourier. Describe el recorrido a partir de la ecuación del calor y su método de resolución involucrando series trigonométricas, hasta llegar a la transformada de Fourier. Permite analizar y descomponer patrones complejos, y entre las distintas aplicaciones citadas se centra el autor en los métodos de compresión de datos usados en la fotografía digital.

10.- La ecuación de Navier-Stokes. Esta ecuación presenta un modelo para calcular cómo se mueven los fluidos. Y es un modelo útil que, una vez que los ordenadores permitieron resolver esta ecuación,  ha demostrado su eficacia en el diseño de aviones de pasajeros, barcos o automóviles para mejorar su aerodinámica.

11.- Las ecuaciones de Maxwell. De forma breve y clara nos presenta el gran logro de Maxwell, apoyándose en los trabajos de Faraday. Conseguir la primera unificación importante de fuerzas físicas, mostrando que la electricidad y magnetismo están íntimamente interrelacionados. Las usó para predecir la existencia de ondas electromagnéticas de otras longitudes de onda y a partir de aquí comenzaron los experimentos en  su búsqueda. Esto originó la radio, el radar, la televisión y la mayoría de las comunicaciones modernas. Termina el capítulo afirmando que “las ecuaciones de Maxwell no sólo cambiaron el mundo, sino que establecieron uno nuevo”.

12.- Segunda ley de la termodinámica. A partir de la importancia de la máquina de vapor en el desarrollo industrial surge la necesidad de mejorar su rendimiento.  Los conceptos de calor, temperatura, entropía, así como los protagonistas de esta historia desfilan a lo largo de este capítulo para poner límites al trabajo útil que puede extraerse a partir del calor.

13.-La relatividad. A parir del experimento de Michelson y Morley,  que probaba que la velocidad de la luz no respetaba las leyes de Newton al ser medida respecto a diferentes sistemas de referencia, Einstein establece su teoría de la relatividad. Nos detalla primero la relatividad especial, luego la general, explicando algunas de sus consecuencias y la interpretación del universo. También la relación entre masa y energía, y su influencia en la construcción de la bomba atómica.

14.- Ecuación de Schrödinger.  La luz tenía comportamientos de onda y de materia. Pero no solamente la luz sino toda la materia. Esta ecuación modela la materia no como una partícula sino como una onda y describe el modo de propagación de estas ondas. Es fundamental para la mecánica cuántica que rige el mundo de lo muy pequeño. Y se analizan conclusiones, muy difíciles de entender, que se deducen de esta ecuación.

15.-La teoría de la información. Esta ecuación obtenida por el ingeniero Claude Shannon define cuánta información contiene un mensaje, en términos de las probabilidades con las que los símbolos que lo componen tienen la posibilidad de darse. Según Stewart es la ecuación que dio comienzo a la edad de la información. Tiene que ver con la detección y corrección de errores en la codificación y aplicaciones en criptografía  o en la obtención del significado de la secuencia de ADN.

16.-  Teoría del caos. Con el subtítulo El desequilibrio de la naturaleza nos plantea el modelo logístico de crecimiento poblacional, que es una de las ecuaciones más simples que puede generar el caos determinista. La teoría del caos tiene innumerables aplicaciones: predicción del tiempo, dinámica de poblaciones o modelado de terremotos.

17.- La ecuación de Black-Scholes. Es un capítulo muy ilustrativo sobre el mundo financiero y en particular sobre los instrumentos conocidos como derivados y su comercialización. La ecuación fue concebida para dotar a los mercados de cierta racionalidad y fue muy usada y muy eficaz. A su aplicación, sin tener en cuenta las suposiciones subyacentes al modelo, se le achaca la crisis financiera y la actual depresión económica. Y Ian Stewart nos avisa del riesgo de caer en los mismos errores al observar la valoración exagerada de las webs de redes sociales.

Como decíamos, en cada capítulo se abordan los trabajos previos a la ecuación tratada, los personajes que intervinieron en su elaboración, el problema que afrontaba y las consecuencias posteriores. Todo ello escrito de forma comprensible e interesante, sin excesivos formalismos y estableciendo con claridad los objetivos perseguidos y los pasos dados.

A lo largo del libro queda patente la potencia del lenguaje matemático para modelizar fenómenos y situaciones muy diferentes y poder hacer predicciones sobre ellas. Y también la conveniencia de simplificar los problemas para obtener una mejor comprensión y no olvidar que los resultados serán válidos siempre que se cumplan las hipótesis iniciales.

En resumen, un libro muy interesante y un elogio a la concisión y claridad que supone el simbolismo y la notación matemática.