Euclides (El Teorema de los Poliedros en la última Proposición de Los Elementos de Euclides)
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Escrito por Pedro Miguel González Urbaneja   

El Teorema de los Poliedros en la última Proposición de Los Elementos de Euclides

Euclides
Euclides. Biblioteca de El Escorial. Obra de P. Tibaldi. 1586.

«Euclides era platónico, [...], mejoró los trabajos de Teeteto, [...], se propuso como objetivo final del conjunto de sus Elementos la construcción de los cinco poliedros regulares».
Proclo. Comentario al Libro I de  Los Elementos de Euclides (Prólogo, 2ª Parte)

Según Proclo, Euclides se formó en el ámbito matemático de los sucesores de los discípulos de Platón, en la Academia de Atenas, y por ello tuvo que sufrir la fascinación de sus miembros por los cinco poliedros regulares –llamados Cuerpos Platónicos–, para incluirlos como clímax final, en el Libro XIII y último, de un tratado tan brillante como Los Elementos. De hecho diversos comentaristas griegos atribuyen gran parte del contenido del Libro XIII al gran matemático platónico Teeteto.

Sólidos platónicos
Fragmentos de los dibujos sobre de los Sólidos Platónicos que Leonardo da Vinci diseñó para la célebre obra de Luca Pacioli La Divina Proporción (Venecia, 1509). A pesar de su título, gran parte de esta magna obra está dedicada a un estudio exhaustivo de los poliedros tanto los platónicos como los arquimedianos.

El estudio euclídeo de los poliedros regulares es muy importante para la Historia de la Matemática porque contiene el primer ejemplo de un teorema fundamental de clasificación. Euclides introduce uno por uno, los poliedros regulares en las definiciones XI.12 (pirámide), XI.25 (cubo), XI.26 (octaedro), XI.27 (icosaedro), XI.28 (dodecaedro) de Los Elementos. El objetivo de los Teoremas del Libro XIII de Los Elementos es inscribir cada uno de los poliedros regulares en una esfera, construcciones que Euclides, con un extraordinario virtuosismo geométrico, obtiene, de forma sucesiva, en las Proposiciones XIII.13–XIII.17, hallando la razón de la arista del sólido al diámetro de la esfera circunscrita, obteniendo los resultados que se sintetizan en el cuadro adjunto que muestra la razón de la arista de cada sólido al radio R de la esfera circunscrita.

Cuadro adjunto

 


 

El libro XIII de Los Elementos y con él toda la brillante obra de Euclides culmina con el brillante esplendor de la última proposición, que ocupa el lugar 465, la XIII.18:

«Construir los cinco poliedros regulares inscritos en la misma esfera y comparar las aristas de las cinco figuras».

GráficaEuclides traza la figura siguiente tomando:

  • AB diámetro de la esfera
  • AC = CB, AD = 2DB
  • AH = AB, CL = KC .

Y demuestra, paso a paso, utilizando numerosas proposiciones anteriores (en particular algunas de la sección áurea estudiadas en las proposiciones XIII.1–XIII.12 ), que:

  • AZ es la arista t del tetraedro
  • BZ es la arista c del cubo
  • BE es la arista o del octaedro
  • MB es la arista i del icosaedro
  • NB es la arista d del dodecaedro

Siendo la relación entre ellas:

  • t2 = (4/3) o2 = 2c2.
  • o2 = (3/2) c2.
  • La arista i del icosaedro es mayor que  la arista d del dodecaedro.
Fragmento de la última Proposición
Fragmento de la última Proposición (XIII.18) de Los Elementos de Euclides. Edición de Ratdolt (Venecia, 1482). Ejemplar de la Biblioteca del Monasterio de San Millán de Yuso.

La última proposición de Los Elementos acaba, a su vez, con el teorema de clasificación de los poliedros, punto culminante de la obra de Euclides: «La Geometría ha dictaminado que aunque haya infinitos polígonos regulares el número de poliedros regulares –los cuerpos más bellos, según Platón (Timeo, 53d)– son cinco, ni más ni menos». La sencilla demostración de Euclides se basa en la Proposición XI.21 de Los Elementos: «Todo ángulo sólido es comprendido por ángulos planos menores que cuatro rectos». Euclides simplemente estudia las clases de polígonos que pueden formar las caras de los poliedros regulares, ante la restricción de que la suma de los ángulos planos de los polígonos que concurren en un ángulo sólido del vértice debe ser menor que cuatro ángulos rectos, es decir, menor de 360º.

EXISTEN CINCO Y SÓLO CINCO SÓLIDOS PLATÓNICOS
EL TEXTO DE EUCLIDES (XIII.18)
(Euclides: Elementos. traduc. y notas de M.L.Puertas. Gredos. Madrid, 1996. Libro XIII, pp.355-356).

Digo ahora que, aparte de las cinco figuras antedichas, no se construirá otra figura comprendida por [figuras] equiláteras y equiangulares iguales entre sí.
Porque no se construye un ángulo sólido con dos triángulo o, en absoluto, con dos planos. Sino que el ángulo de la pirámide [Tetraedro] se construye con tres triángulos, el del octaedro con cuatro, el del icosaedro con cinco; pero no se construirá un ángulo sólido mediante seis triángulos equiláteros y equiangulares [colocados] en un sólo punto; porque si el ángulo del triángulo equilátero es dos tercios de un recto, los seis serán iguales a dos rectos; lo cual es imposible, porque todo ángulo sólido es comprendido por menos de cuatro rectos [Elementos, XI.21]. Por lo mismo, tampoco se construye un ángulo sólido con más de seis ángulos planos. Y el ángulo del cubo es comprendido por tres cuadrados; por cuatro es imposible, porque serán a su vez cuatro rectos. Y el [ángulo] del dodecaedro es comprendido por tres pentágonos equiláteros y equiangulares; por cuatro es imposible, porque, siendo el ángulo del pentágono equilátero un recto más un quinto, los cuatro ángulos serán mayores que cuatro rectos; lo cual es imposible. Y un ángulo sólido tampoco será comprendido por otros polígonos en razón de la misma imposibilidad.
Por consiguiente, aparte de las cinco figuras antedichas, no se construirá otra figura sólida comprendida por [figuras] equiláteras y equiangulares. Q.E.D

Si traducimos el lenguaje retórico euclídeo en términos aritméticos,  la demostración es similar a la de los mosaicos pitagóricos, pero aquí hay que resolver una inecuación en números enteros, la que resulta de la Proposición XI.21:

Inecuación, si concurren en un vértice del poliedro m polígonos regulares de n lados.

 

Esta inecuación es equivalente a (m–2)·(n–2)<4, que da como soluciones geométricas:

Soluciones

Según W.Dunham (en Viaje a través de los genios. Pirámide. Madrid, 1992. p.116):
«Euclides había mostrado que no podía haber más de cinco sólidos regulares –tres con triángulos equiláteros de caras, uno con cuadrados y otro con pentágonos–. Ninguna cantidad de esfuerzo o ingenio produciría un mayor número de estas notables figuras. Con esto termina el libro de los Elementos. Fue, y ha permanecido así durante 2.300 años, un documento matemático insuperado. Como toda gran obra maestra, puede ser leído una y otra vez, suministrando nuevos aspectos del genio de su creador. Aún hoy, estos viejos escritos constituyen una fuente ilimitada de goce para los que disfrutan con la ingeniosidad y el artificio de un argumento matemático elegante. Lo mejor que podemos hacer es citar de nuevo a sir Thomas Heath, quien lo ha dicho de una forma simple, directa y exacta. El libro de los Elementos […] es y sin duda permanecerá como el libro de texto de matemáticas más grande de todos los tiempos».

 


 

Bibliografía

  1. ARTMANN,B.: Euclid–The Creation of Mathematics. Springer, New York, 1996. Caps 29.4, 29.5
  2. BOYER,C.: Historia de las Matemáticas. Alianza Universidad, Madrid, 1986. Cap. 7.12.
  3. COXETER,H.: Introductio to Geometry. John Wiley & Sons. New York, 1989. Cap. 10
  4. DUNHAM,W.: Viaje a través de los genios. Ed. Pirámide. Madrid, 1992. Cap.3.
  5. EVES,H.: An Introduction to the History of Mathematics. CBS Coll. Publishing, New York, 1983. Cap. 3.13
  6. FONT, V. Mosaicos y poliedros regulares. Epsilon, n. 53. Volumen 18(2). 2003
  7. GHYKA, M.C.: The Geometry of Art and Life. Dover, New York, 1977. Cap.IV.
  8. GHYKA, M.C.: Estética de las proporciones en la Naturaleza y en las Artes.  Poseidón. Barcelona, 1983. Cap.3.
  9. GUILLÉN,G.: El mundo de los poliedros Síntesis. Madrid, 1997. Cap. 2.2
  10. GONZÁLEZ URBANEJA,P.M.: Matemáticas y matemáticos en el mundo griego (en El legado de las Matemáticas: de Euclides a Newton). pp.24-75.Universidad de Sevilla, 2000. Cap.1.
  11. GONZALEZ URBANEJA, P.M.: Els sòlids pitagòricoplatònics. Geometria, Art, Mística i Filosofia. BIAIX, núm. 21, pp.10-24, 12/03.
  12. GONZALEZ URBANEJA,P.M.: Pitágoras, el filósofo del número. Nivola, Madrid, 2001. Cap. 7.
  13. GONZALEZ URBANEJA,P.M.: Platón y la Academia de Atenas. Nivola, Madrid, 2006. Cap. 12.
  14. HEAT, T.L.: A History of Greek Mathematics. Dover, New York, 1981. Vol.1. Cap.XI.
  15. LEVI.B.: Leyendo a Euclides. Zorzal, Buenos Aires, 2001. Cap.V.
  16. LORIA,G.: Histoire des sciences mathématiques dans l’antiquité hellénique. Gauthier-Villars, París, 1929. Caps. 2 y 3.
  17. MILLÁN,A.: Euclides, la fuerza del razonamiento matemático. Nivola, Madrid, 2004.
  18. PACIOLI,L.: La Divina Proporción. Intrd. de A.Mieli. Losada. Buenos Aires. 1946. Parte I, cap. XXV.
  19. PACIOLI,L.: La Divina Proporción. Introd. de A.M.González. Ed. Akal. Madrid. 1991. Cap. XXV.
  20. PÉREZ,M.:  Una historia de las Matemáticas. Visión Net. Madrid, 2004. Cap.4.3.
  21. PLATÓN: Timeo (en Obras Completas). Aguilar, Madrid, 1969.
  22. PLATÓ: Timeu (en Diàlegs, Vol.XVIII). Bernat Metge, Barcelona, 1990.
  23. SUTTON,D.: Sólidos platónicos y arquimedianos. Oniro, BAcelona, 2004. Caps. 1 y 7.

Ediciones de Los Elementos de Euclides

  1. EUCLIDES: Elementos. Traducción y notas de M.L.Puertas. Gredos. Madrid, 1996. Libro XIII.
  2. HEAT,T.L.: The thirteen books of The Elements. 3 Vols. Dover. New York, 1956. Book XIII.
  3. VERA,F.: Los Elementos de Euclides (en Científicos griegos). Aguilar, Madrid, 1970. Libro XIII.

Algunas páginas de Internet sobre la Proposición 18 de Los Elementos de Euclides.

  1. Joyce, D.E.: Euclid's Elements on the WebBook XIII. Regular solids. Proposition 18.
  2. Doménech, J.: Elements d'Euclides en Català. . Sòlids regulars. Proposició 18.
  3. Doménech,J.: Elementos de Euclides en Español . Libro XIII. Sólidos regulares. Proposición 18.
  4. Weisstein, E.: Platonic Solid. Wolfram Research.

 
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