Arquímedes (La Cubatura y la Cuadratura de la Esfera en EL MÉTODO de Arquímedes)
|
Arquímedes (La Cubatura y la Cuadratura de la Esfera en EL MÉTODO de Arquímedes) |
|
| Escrito por Pedro Miguel González Urbaneja | ||||
|
La Cubatura y la Cuadratura de la Esfera en EL MÉTODO de Arquímedes «Entre todos los trabajos que se refieren a las disciplinas matemáticas, parece que el primer lugar puede ser reivindicado por los descubrimientos de Arquímedes, que confunden a las almas por el milagro de su sutilidad». E.Torricelli. Opera geometrica. Florencia, 1644. Proemio.
Arquímedes es uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, tanto por la magnitud de su contribución al patrimonio matemático de la humanidad como por la genialidad de sus métodos. Una copiosa tradición legendaria, inmortalizada por la imaginación épica de los más egregios literatos greco-latinos –Polibio, Tito Livio, Plutarco, Cicerón, …– y reivindicada por numerosos escritores y científicos a partir del Renacimiento –Leonardo, Galileo, Cavalieri, Torricelli, Fermat, Pascal, …– elevó la figura de Arquímedes hasta la más alta cima del genio e ingenio humanos, entre el mito y la realidad, magnificados aún más, si cabe, en todos los tiempos, por un ingente despliegue de iconografía arquimediana, que ha embellecido la imagen del sabio personaje hasta cotas casi hagiográficas. No obstante, el retrato que más interesa es el del pensamiento de Arquímedes, plasmado en el sello inmarcesible de sus escritos geométricos, algo que sobrevivirá mientras haya mentes que sigan abriéndose paso hacia el descubrimiento de la verdad matemática persiguiendo encontrar la demostración de la propia verdad. Pero allende el romanticismo que la Literatura ha impregnado a la figura de Arquímedes, interesa sobremanera a la Historia de la Ciencia y sobre todo a la Historia de la Matemática, su ingente contribución a la magnificación del acervo matemático de su época, en una triple vertiente: a) la propia ampliación de los conocimientos euclídeos, b) la consolidación del procedimiento demostrativo, y c) la aplicación de una eficiente metodología nueva en el descubrimiento matemático. A partir de 1906, fecha en que el gran helenista e historiador de la Matemática J.L.Heiberg exhumó la obra de Arquímedes, EL MÉTODO, tras una encomiable labor de paleografía matemática, sabemos que este tratado es una obra singular de Arquímedes, porque en ella revela a la comunidad matemática alejandrina –en carta dirigida a Eratóstenes– la forma de descubrir los resultados matemáticas por medio de la mecánica, que se ocultaba en el resto de sus escritos científicos. La combinación de Geometría y Estática que Arquímedes había hecho en sus tratados Sobre el Equilibrio de los Planos y en Sobre los Cuerpos Flotantes para establecer rigurosamente ciertas propiedades relacionadas con el equilibrio de ciertos cuerpos geométricos, la realiza de nuevo en EL MÉTODO para descubrir e investigar resultados, que, obtenidos de forma mecánico-geométrica en esta obra, demostrará de forma impecablemente rigurosa en sus famosos tratados científicos conocidos. Aquí veremos la aplicación del Método mecánico a la cubatura (volumen) de la esfera, de donde Arquímedes descubre a su vez, mediante una feliz intuición, la Cuadratura (superficie) de la esfera.
La obra de Arquímedes Sobre la Esfera y el Cilindro consta de dos Libros. El primer Libro es un complemento natural del Libro XII de Los Elementos de Euclides. Ambos tratan de las figuras esferas, cilindros y conos, pero Arquímedes trasciende de forma muy considerable los resultados euclídeos, al demostrar aquí, de forma magistral, mediante el método de exhaución, nuevos y fundamentales teoremas sobre el volumen (Proposición I.34 y su Corolario) y la superficie de la esfera (Proposición I.33). «La esfera y el cilindro circunscrito a ella están en la relación de 2 a 3, tanto en volumen como en superficie total.» «los volúmenes de un cono, una semiesfera y un cilindro de la misma altura y radio están en la razón 1:2:3.»
EL MÉTODO DE ARQUÍMEDES DIRIGIDO A ERATÓSTENES PROPOSICIÓN II: Cubatura y Cuadratura de la Esfera.
De la geometría de la figura, Arquímedes va obteniendo: Sean ahora c(MN), c(QO), c(PR) los círculos de diámetro MN, QO, PR, respectivamente.
Realizando el mismo proceso para todas las paralelas MN a EZ y los círculos que se obtienen sobre la esfera, el cilindro y el cono, resulta que «llenados»con tales círculos el cilindro, la esfera y el cono, el cilindro, «permaneciendo en su lugar», estará en equilibrio, respecto del punto A, con la esfera y el cono juntos, trasladados y colocados sobre la palanca en el punto T, de manera que el centro de gravedad de cada uno de ellos sea T. De aquí aplicando la Ley de la Palanca [Sobre el Equilibrio de los Planos I.6 y I.7] resulta que: «la razón del cilindro a la esfera y el cono juntos, será la misma que la razón de AT a AK». Desarrollando simbólicamente los cálculos que Arquímedes describe retóricamente, sean:
Aplicando el método mecánico, Arquímedes muestra que c = 2(e+a). Utilizando el primer resultado obtenido, Arquímedes emprende a continuación el cálculo de la superficie de la esfera. Y lo hace, de forma retórica, con estas palabras:
La feliz intuición de Arquímedes le lleva al resultado correcto. En efecto sean:
Del resultado de Arquímedes: e = 4c . De la sagaz intuición de Arquímedes, obtenida por analogía con la Proposición 1 de Sobre la Medida del Círculo, se tiene: e = C. Por tanto C = 4c, de donde según Euclides, XII.11, se deduce: S = 4s, es decir, la superficie de una esfera es cuatro veces un círculo máximo. Arquímedes tiene muy claro que la argumentación mecánica de EL MÉTODO, que tan fructífera había sido para conocer áreas de figuras planas y volúmenes de sólidos, no le servía para determinar áreas de superficies curvas, lo que le lleva a soslayar tal impedimento mediante un razonamiento por analogía, comparando la situación entre el volumen y superficie de la esfera con la situación entre el área y el perímetro de un círculo, cambiando cono por triángulo, es decir, ya que se verifica: Área del círculo = triángulo de base la circunferencia y altura el círculo. Análogamente debe verificarse: Volumen de la esfera = cono de base la superficie de la esfera y altura igual al radio. Arquímedes da muestras de una intuición genial, pero en este lugar no cabe duda de que ha tenido una idea feliz, porque no siempre la analogía conduce a un resultado correcto. Por ejemplo, un triángulo es igual a la mitad de un paralelogramo de igual base y altura, pero en cambio la pirámide no es equivalente a la mitad del prisma de igual base y altura, sino a su tercera parte. Observemos que Arquímedes, en EL MÉTODO, encuentra el volumen de una esfera antes que el área de la misma y deduce ésta de aquél. No obstante, como hemos mencionado anteriormente, Arquímedes demuestra el resultado del área de la esfera, en la Proposición 33 del Libro I de su tratado Sobre la Esfera y el Cilindro, es decir, antes y de forma independiente del volumen de la esfera, que lo demuestra en la proposición siguiente. Es por tanto muy interesante observar que en Arquímedes, y así también en otros geómetras griegos, la secuencia de las proposiciones en los grandes tratados clásicos no es la misma que la seguida en el proceso heurístico del descubrimiento. Al aunar lo heurístico del método mecánico de descubrimiento con lo apodíctico del método de demostración por exhaución, el trabajo de Arquímedes –desarrollado con una asombrosa intuición que produce un vibrante entusiasmo intelectual ante un inusitado despliegue de teoremas geométricos que el sabio había descubierto mediante los procedimientos mecánicos de EL MÉTODO– tuvo una influencia histórica decisiva en los orígenes y la evolución del Cálculo Integral. No es extraño que los matemáticos del siglo XVII –grandes artífices de los primeros rudimentos del Cálculo Integral– pensaran que Arquímedes disponía de un método milagroso secreto como piedra filosofal del descubrimiento geométrico. Tampoco es sorprendente o extraordinario, aunque sí maravilloso, que D'Alembert proclamara (Discurso Preliminar de la Enciclopedia. Orbis, Barcelona, 1984. p.63):
|
Sea una esfera cuyo círculo máximo sea ABCD, siendo AC y BD dos diámetros perpendiculares. Sea también en la esfera un círculo de diámetro BD, perpendicular al círculo ABCD; y a partir de ese círculo constrúyase un cono que tenga por vértice el punto A. Prolongada la superficie del cono, córtese éste por un plano que pase por C y sea paralelo a la base, que dará un círculo perpendicular a AC, cuyo diámetro será la recta EZ. Constrúyase después a partir de este círculo un cilindro de eje igual a AC y sean EL y ZH generatrices del mismo. Prolónguese CA y tómese en su prolongación una recta AT igual a ella, y considérese CT como una palanca cuyo punto medio sea A. Trácese una paralela cualquiera MN a BD, que corte al círculo ABCD en Q y O, al diámetro AC en S, a la recta AE en P y a la recta AZ en R. Levántese sobre la recta MN un plano perpendicular a AC, que cortará al cilindro según el círculo de diámetro MN, a la esfera ABCD según el círculo de diámetro QO y al cono AEZ según el círculo de diámetro PR.
[Euclides XII.2],