Legendre, Adrien Marie (1752-1833)
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Escrito por Ana García Azcárate   

Adrien Marie LegendreAdrien Marie Legendre, uno de los grandes matemáticos de la Revolución Francesa, sin llegar a la altura de un Euler o un Lagrange que él consideraba sus maestros, supo aportar resultados valiosos en muchos campos, y hacer que su nombre aparezca en muchas partes de las matemáticas. Sin embargo su carrera aparece, al estudioso de la historia de los descubrimientos matemáticos, como la de un personaje particularmente desafortunado. Pese a haber tocado a algunos de los problemas más importantes de su época, se dejó muchas veces sobrepasar por espíritus más brillantes. Por Laplace: en Teoría del Potencial, a pesar de los polinomios que llevan su nombre, por Gauss con la Ley de Reciprocidad Cuadrática en Teoría de Números, por Abel y Jacobi con la inversión de las Funciones Elípticas, por Lobachevski y Bolyaí por no atreverse a plantear una geometría no-euclideana.

(Nota DivulgaMAT: véase el comentario sobre la imagen de Legendre al final del artículo)

Los primeros años

Aunque se tienen muy pocos datos sobre la familia de Legendre, las biografías existentes coinciden en que se trataba de una familia acomodada que, desde el nacimiento el 18 de Septiembre de 1752 en París , de Adrien Marie, se planteó el darle una buena educación.

Cuando uno no pertenece a la nobleza y no puede por lo tanto acceder a los centros especiales de enseñanza superior, las llamadas Escuelas especiales, que preparan a los oficiales del ejercito, lo lógico es estudiar en algunos de los colegios regentados por eclesiásticos. Al vivir en París, Adrien Marie ingresó para sus estudios en el "Collège Mazarin", también llamado "Colegio de las Cuatro-Naciones". Este hecho fue decisivo para su vocación de matemático.


En efecto, prácticamente desde su creación, el colegio Mazarino adquirió una reconocida y justificada fama por sus enseñanzas científicas y matemáticas. Ese alto nivel era debido a varios factores.

Por un lado, por la organización lectiva del Centro. Era el único de los Colegios de la Universidad de París que estableció un curso completo dedicado a las Matemáticas y para eso, fue el primero en crear, desde sus inicios, una cátedra de Matemáticas.

Por otro lado, esta fama era también debida a los diferentes catedráticos que se fueron encargando de las Matemáticas a lo largo de los ciento veinte años de funcionamiento del Centro.

El jesuita Pierre Varignon, conocido todavía hoy en día por el llamado "POLÍGONO DE FUERZAS DE VARIGNON" fue el primer profesor de matemáticas del Colegio Mazarino donde en 1688, inauguro la cátedra dedicada especialmente a las matemáticas.

El magisterio hacia 1740 del padre De La Caille, un gran astrónomo, corresponde a la época más prestigiosa de los cursos de Matemáticas del Collège Mazarin. Sus clases estaban llenas de alumnos externos que venían únicamente para escucharle.

El nivel científico inusual del colegio atrajo a muchos alumnos y a su vez, fomentó muchas vocaciones científicas. Entre los alumnos del Collège Mazarin durante los 120 años de su existencia, aparecen grandes científicos de la época: Jacques Cassini el astrónomo, director del Observatorio de París,. Jean Le Rond d´Alembert,  recordado hoy en día como el responsable de la parte científica de la Enciclopedia, el físico Charles de Coulomb, conocido por todos los estudiantes al iniciarse en los rudimentos de electricidad, el químico Antoine-Laurent Lavoisier, el creador de la química moderna y muchos más.

Legendre tuvo la suerte de ingresar en este centro privilegiado. Fue alumno del padre Marie, entonces el titular de la cátedra de Matemáticas, que inmediatamente se dio cuenta de los dotes de su alumno y le impulsó a profundizar sus estudios matemáticos. A la edad de 18 años, el 25 de julio de 1770, Legendre defiende su tesis doctoral en el colegio: "Theses mathematicae ex analysi, geometria et mecanica excerpta.". Un trabajo con suficiente nivel como para que su director, el padre Marie incluya varios párrafos de la misma en su "Tratado de mecánica" de 1774. El joven estudiante empezaba su vida científica.

El científico antes de la revolución

A los 18 años, Legendre tiene clara su vocación matemática. Como otros antes que él, sigue frecuentando el colegio una vez acabados sus estudios para perfeccionarse con su maestro. Legendre tiene una pequeña fortuna familiar y no tiene que trabajar para poder vivir. Sin embargo, por la recomendación de D´Alembert, Legendre consigue a los 23 años su primer puesto remunerado: Profesor en la Escuela Real Militar de París. Durante varios años, de 1775 a 1780, enseña las bases científicas a 500 jóvenes nobles que ingresaban para su preparación militar. Este periodo fue el único magisterio de Legendre. No volvió en toda su vida a ser profesor aunque la enseñanza de las matemáticas fue, como veremos, uno de sus temas de interés.

Premio de la Academia de Berlín

Al tener que dar clase a futuros militares, Legendre profundizó sus conocimientos en balística. Por eso, cuando la Clase de Matemáticas de la Academia de Berlín propuso, como tema del premio del año 1782, "Determinar la curva descrita por los proyectiles y las bombas, teniendo en cuenta la resistencia del aire...", Legendre se encontró perfectamente preparado para concurrir y el 6 de Junio 1782 su trabajo ganó el primer premio y sirvió para que Lagrange, del que Legendre se consideraba ya un discípulo, se interesase por él y preguntase a Laplace ¿quién era ese joven autor?.

La entrada en la Real Academia

Después de su primer éxito en la Academia de Berlín, Legendre lucha por lograr hacerse un sitio como matemático. Presenta diversas investigaciones sobre la resolución de ecuaciones indeterminadas de segundo grado, sobre las propiedades de las fracciones continuas, sobre algunos problemas de probabilidad, sobre la suma de fracciones continuas, sobre la rotación de los cuerpos no sometidos a ninguna fuerza aceleradora. Todos estos trabajos le permiten darse a conocer por la comunidad científica y son seleccionados para ser publicados en las "Mémoires des savans étrangers" de la Real Academia, el lugar reservado a los trabajos destacados, de científicos no pertenecientes a la Academia de Ciencias.

Pero para un científico, el reconocimiento social consiste en ser elegido miembro de la Academia de Ciencias. Legendre, ya con treinta años, lo conseguirá el 2 de Abril de 1783.

Llega 1789

Cuando llega la Revolución francesa, Legendre es un matemático establecido, miembro activo de la Real Academia de Ciencias. Su capacidad de trabajo y de cálculo ya es reconocida por todos. Ha empezado a interesarse por los dos temas que le ocuparan toda la vida: la TEORÍA DE NÚMEROS y la FUNCIONES ELÍPTICAS

La toma de la Bastilla encuentra a nuestro protagonista desarrollando una gran actividad científica. Los primeros años no parecen haber frenado este impulso. El 14 de julio no supuso una ruptura para el mundo de la ciencia. Las sesiones de la Real Academia seguían siendo regulares y se trataban temas que no tenía nada que ver con los hechos revolucionarios. Todos sus miembros se habían adherido al gran proyecto científico del establecimiento de un nuevo Sistema Métrico Decimal.

La época del terror revolucionario

La fecha de 1793 supone la verdadera ruptura para los científicos. A nivel de la comunidad de sabios, la supresión de todas las Reales Academias, incluida por supuesto la Academia de Ciencias, fue un hecho fundamental. Para Legendre, esta supresión equivalía a la desaparición del único salario con el que contaba y este hecho, junto a la pérdida en los sucesos revolucionarios de su pequeña fortuna le hizo, como él mismo relató, pasar por una situación económica muy difícil.

El matemático, se ha especulado que debido a sus comentarios cáusticos, tuvo que esconderse y, en su retiro, además de seguir investigando y preparar el manual didáctico que le dará fama: "Éléments de Geométrie", encontró a Marguerite-Claudine Couhin, bastante más joven que él, que se convirtió entonces en su esposa.

Las nuevas instituciones educativas

La vuelta a una situación interna más moderada, primero con la Convención termidoriana y después con el Directorio, y el comienzo de una fase de la guerra en Europa favorable, permiten empezar a plantearse las aplicaciones de las nuevas ideas a la educación: hay que acabar con la libertad total de los profesores en contenidos y en métodos, con el dominio de una cultura clásica regida por el latín, que no tiene en cuenta los adelantos científicos. La ciencia debe revolucionar la enseñanza. Se debía sobre todo acabar con un sistema académico selectivo basado en la extracción social, con centros reservados a los hijos de la nobleza. Por eso, Gaspart Monge propone en 1794 la creación de una gran escuela preparatoria para todos los tipos de ingenieros: será la "Escuela Politécnica" y el inicio del sistema de Grandes Escuelas que estructura la enseñanza científica superior francesa sobre unas bases radicalmente diferenciadas de las Universidades.

Por los motivos que sean, y se ha especulado mucho sobre ello, Legendre no es nombrado profesor en la Escuela politécnica recién creada, siendo escogido Laplace en su lugar, ni tampoco aparece en las listas de los profesores de la Escuela Normal del año III. A pesar de no ser nombrado profesor de la Escuela, en 1799, Legendre consigue el prestigioso puesto de Examinador de salida y ocupa el cargo dejado vacante por Laplace, entonces nombrado ministro del Interior por Napoleón, permaneciendo en el cargo más de quince años.

Legendre un científico infatigable

La actividad científica de Adrien Marie Legendre prosigue sin descanso durante esos años más tranquilos. Al final del siglo y principios del siguiente, Adrien Marie Legendre ya ha tocado todos los grandes temas que van a ser el centro de sus estudios: la TEORÍA DE NÚMEROS con la primera edición de su Ensayo en 1798, las FUNCIONES ELÍPTICAS, la TEORÍA DEL POTENCIAL. Su libro de GEOMETRÍA ha sido un gran éxito editorial y en él, Legendre propone sus primeras demostraciones del QUINTO POSTULADO. También se interesa por la geodesia y sus memorias sobre TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA van apareciendo en esos años.

El Sistema Métrico Decimal

Sus trabajos de investigación le dejan a pesar de todo, tiempo para participar en numerosas comisiones relacionadas con el Sistema Métrico Decimal.

En su actuación como responsable de la Agencia Temporal de pesos y medidas muestra un enorme entusiasmo, una fe total en la mejora que suponía la implantación del nuevo sistema.

A pesar de no haber participado en la nueva medición del meridiano para obtener la unidad de longitud, Legendre se incorpora activamente en la comisión mixta de sabios franceses y extranjeros que debe examinar todo el trabajo. Utilizando un método propio, apoyándose en sus teoremas de trigonometría esférica, Legendre comprueba todos los valores obtenidos, permitiendo la proclamación, el 22 de Junio de 1799, del resultado definitivo para el metro.


Los Elementos de Geometría

Legendre mostró su apoyo a una de las consignas de la Revolución, la de difundir el saber entre grandes capas de la población escribiendo tratados didácticos que tengan la virtud, además de divulgar la ciencia pasada, de incorporar los conocimientos más recientes. Un magnífico ejemplo de su labor de "divulgación" de las matemáticas fue sus "Elementos de Geometría", destinado a los estudiantes de Bachillerato. Este libro de texto dominó la enseñanza de la geometría elemental durante más de cien años y tuvo numerosas ediciones y traducciones. El texto base del libro era una vuelta parcial a la demostración y al rigor que presentaban los Elementos de Euclides, pero con una cuidada presentación para facilitar la comprensión de las ideas clásicas de Euclides a los estudiantes de su época.

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Portada de la décimo primera edición de los “Eléments de Geométrie” de A. M. Legendre (1794)

Al plantearse facilitar la comprensión de las ideas clásicas de Euclides a los estudiantes de su época, Legendre se enfrentó, desde la primera edición en 1794, de sus Eléments de Geométrie, al problema histórico del POSTULADO DE LAS PARALELAS. Con afán didáctico y al mismo tiempo investigador, buscó durante más de cuarenta años, una demostración del quinto postulado, que por una parte fuese rigurosa desde el punto de vista matemático, y por otra, fuese comprensible a sus estudiantes lectores. Sus varios intentos aparecieron en las trece ediciones de su libro desde 1794 hasta 1823. El año mismo de su muerte, en 1833, publicó una monografía sobre el tema donde da por cerrada la cuestión afirmando haberlo demostrado. Legendre murió sin conocer los resultados sobre la geometría no euclídea de Lobachevski y Janos Bolyai.

La Teoría del Potencial

En 1781, el joven Legendre se interesa por el problema de la atracción ejercida por los planetas, intentando proseguir los trabajos realizados por Maclaurin, D´Alembert y Lagrange. Legendre introdujo los polinomios que llevan su nombre en 1785, en uno de sus primeros estudios sobre la teoría del potencial y la determinación de la magnitud de la atracción gravitatoria ejercida por una masa, la tierra, con forma de elipsoide, sobre una partícula.

En diversos artículos posteriores y entrelazando sus investigaciones con Laplace, Legendre ira deduciendo las propiedades de esas nuevas funciones. Estos trabajos abrieron un nuevo campo de la matemática. Aquí como en muchas otras ocasiones, Legendre introdujo unos instrumentos matemáticos, los polinomios que llevan su nombre y los polinomios asociados de Legendre, cuya utilidad y aplicación él no llego a vislumbrar.

Las Funciones elípticas

Se trata sin duda de uno de los dos grandes temas de trabajo de Legendre, junto con la Teoría de Números. Desde que publicó dos memorias en el volumen del año 1786 de la Real Academia de Ciencias hasta el final de su vida es decir durante más de cuarenta años, Legendre se ha dedicado con pasión y perseverancia al estudio de las integrales elípticas que aparecían tantas veces en la matemática y sus aplicaciones. En esos cuarenta años fue descubriendo nuevos resultados, nuevas propiedades, nuevas utilizaciones de las integrales. Suficientes para publicar tres volúmenes en 1811, 1816 y 1817 sobre cálculo integral "Ejercicios de cálculo integral". En ellos, además de estudiar unas integrales funcionales que llamó integrales Eulerianas, vuelve sobre las integrales elípticas y sobre sus aplicaciones a diferentes problemas de geometría, y de mecánica.

En 1825 y 1826 logra reunir de nuevo todos sus resultados con los desarrollos y perfeccionamiento que había conseguido con su incansable trabajo y publicar su "Tratado de funciones elípticas y de las integrales Eulerianas". Para el matemático el trabajo sobre las integrales elípticas se había completado.

Sin embargo, un año después, en Agosto de 1827, Legendre recibió una carta de un joven matemático alemán Karl Jacobi, prácticamente desconocido en París que le sugirió la inversión de las integrales elípticas y le informó de unas investigaciones paralelas a las suyas del matemático noruego Abel.

A raíz de su correspondencia con los dos jóvenes investigadores, Legendre quiso divulgar los resultados obtenidos por lo que él llego a considerar sus discípulos más queridos y añadió un tercer volumen a su "Tratado de funciones elípticas" que completa los dos aparecidos en 1825 y 1826. Este tercer volumen estaba compuesto de tres suplementos que fueron escritos a lo largo de los años 1828 a 1832, donde Legendre presentaba los importantes resultados de Abel y Jacobi. El viejo matemático terminó su tercer suplemento el 4 de marzo de 1832, menos de un año antes de su muerte.

La idea de la inversión de las integrales elípticas demostró ser la clave para todo su desarrollo posterior. Al ampliar su estudio al campo complejo fueron apareciendo sus propiedades características, su doble periodo y muchas otras que necesitan para su comprensión de un mayor formalismo matemático. A partir de los resultados de Abel y Jacobi, se abrió efectivamente, como vislumbraba Legendre, un campo de investigación que avanzaría en los años siguientes con los trabajos de Liouville, de C. Hermite, de K. Weierstrass y de otros.

Teoría de Números

Un Legendre viejo y enfermo escribe el 9 de Febrero 1828, a su joven discípulo Jacobi que le ha comunicado ciertos resultados que ha podido obtener sobre la teoría de números:

"Le podría indicar, en esta parte, temas de investigación que presentan una dificultad digna de Ud.; pero prefiero darle el consejo de no dedicar demasiado tiempo a investigaciones de este tipo. Son muy difíciles y muchas veces, no conducen a ningún resultado"

Sin embargo, Legendre desde luego no se aplicó su propio consejo. El tercer tema, junto a la TEORÍA DE LAS PARALELAS y las FUNCIONES ELÍPTICAS, al que dedicó "durante los cincuenta últimos años de su vida, todo el tiempo libre que le dejaban sus ocupaciones diarias" según palabras de su biógrafo oficial, E. de Beaumont es el estudio de las propiedades de los números, la llamada Teoría de Números.

Ya en 1785, Legendre publica  su primer trabajo sobre propiedades de los números en su memoria "Recherches d´analyse indeterminée". Es en este trabajo que Legendre presenta por primera vez lo que a su juicio es la primera demostración de la LEY DE RECIPROCIDAD CUADRÁTICA, una de las leyes de mayor trascendencia para la teoría de números. Esta demostración será posteriormente refutada por Gauss que se declaró entonces el "padre" verdadero de la ley.

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Portada de la segunda edición del “Essai sur la Théorie des Nombres” de A. M. Legendre (1798)

Seguirá trabajando sobre el tema y en 1798 publica por primera vez en la historia de las matemáticas un tratado totalmente dedicado a la teoría de números: "Ensayo sobre la teoría de los números". Diez años más tarde, hace una nueva edición de su Ensayo, reformando según su costumbre el texto. Descontento de sus publicación, añade dos suplementos en 1816 y 1825 donde recoge sus investigaciones sobre el teorema de Fermat.

Por fin, al final de su vida, se decide a reunir los últimos resultados sobre las propiedades de los números y publica la "Teoría de Números", que representa para Legendre su "testamento" sobre estas cuestiones.

A modo de epílogo


Matemático de calidad, poco perturbado por los acontecimientos de su época, Legendre ha analizado algunos de los problemas claves de su tiempo pero se ha dejado a menudo adelantar por espíritus más brillantes. Gran analista, experto utilizador de los desarrollos en serie, se queda mucho más cerca de los razonamientos de sus maestros Euler y Lagrange que de los de un joven Abel o un escueto Gauss.


Bibliografía

[1] A. D. Aleksandrov y otros: La matemática: su contenido, métodos y significado. Tomo 1, 2 y 3. Alianza Editorial. Madrid 1976

[2] Elie de Beaumont: Eloge historique de Adrien Marie Legendre: Mémoires de l´Académie des Sciences 32 (1864).

[3] Nicole et Jean Dhombres: Naissance d´un nouveau pouvoir: sciences et savants en France 1793-1824. Éditions Payot. Paris 1989.

[4] Ana García Azcárate: Legendre: La honestidad de un científico. NIVOLA 2002

[5] C.C. Gillispie: Dictionnary of scientific biography (16 vol.). Charles Scribner´s and sons. New York. 1970-1980.

[6] Morris Kline: El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Tomo II. Alianza Universidad. Madrid 1992.


Nota DivulgaMAT:

Luis LegendreEn los Notices de la AMS, aparece la sorprendente noticia de que el retrato de Adrien Marie Legendre que hemos visto toda la vida (imagen de la izquierda) está equivocado. No era él sino Luis Legendre, un político de la revolución francesa.

El artículo (en inglés) se puede ver pinchando aquí:
icon Changing Faces: The Mistaken Portrait of Legendre

 
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