109. LOS MONOS EN LA ISLA
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109. LOS MONOS EN LA ISLA |
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En una isla desierta, cinco hombres y un mono recogen cocos durante el día, y después se duermen. El primer hombre se despierta y decide tomar su parte: divide los cocos en cinco partes iguales y le sobra un coco, que se lo da al mono. Después toma su parte y vuelve a dormirse. Entonces se despierta el segundo hombre y, haciendo un montón con los cocos que quedaron, lo divide en cinco partes iguales y le sobra un coco, que se lo da al mono. Sucesivamente ocurre lo mismo con cada uno de los tres hombres restantes. ¿Cuántos cocos había por lo menos en el montón original? Sea x el número de cocos que se lleva un hombre y sea y el número de cocos que se lleva el siguiente. Del enunciado se deduce que y = (4x − 1)/5, o lo que es lo mismo  Sea n el número total de cocos y sean a, b, c, d y e las cantidades de cocos que se van llevando sucesivamente los hombres. Es claro que n = 5a+1; usando este hecho y aplicando varias veces la fórmula de arriba, se deduce que  lo cual implica que  de donde resulta que n + 4 es múltiplo de (5.5.5.5) y por tanto la solución más pequeña para n es: (5.5.5.5) − 4 = 3121. En el montón había por lo menos 3121 cocos. |