1. (Junio 2008) El cristo de la farola
Imprimir
Escrito por G4D (José Manuel Arranz, Rafael Losada, José Antonio Mora y Manuel Sada)   
Domingo 01 de Junio de 2008

Introducción

La realidad suele presentar problemas complejos y difícilmente analizables. A lo largo de los siglos, las Matemáticas han demostrado ser una buena herramienta para crear modelos basados en la realidad que permitan el estudio de esos problemas y alcanzar soluciones óptimas. Pero una cosa es adaptar el modelo a la realidad y otra adaptar la realidad al modelo.

Este artículo se divide en dos partes claramente diferenciadas, expuestas en forma de relato.

La primera, basada en un ejemplo de José Luis Álvarez García, desarrolla uno de tantos problemas, en realidad “ejercicios” (debido al contexto en el que aparecen), que pueblan los libros de texto habituales en la ESO.

La segunda parte invita a la profundización del problema en un caso más general. Está pensada para personas con un mayor conocimiento de la geometría del triángulo (bachillerato, universidad), si bien se continúan empleando recursos de geometría elemental.

Objetivo

Evidentemente, no hemos tratado en estos relatos de exponer demostraciones rigurosas que, aunque a menudo muy bellas, suelen ser largas y difíciles, sino de mostrar lo que un físico llamaría “leyes” (algo comprobable experimentalmente) con el objetivo de expresar -con cierta vehemencia, eso sí- dos principios:

  • El inmenso potencial de los programas de geometría dinámica tanto para el aprendizaje como para la investigación, si es que existe alguna diferencia sustancial entre ambos términos.
  • La posibilidad de investigar sobre muchos problemas que sin este tipo de herramientas serían difícilmente abordables.

En cuanto a este segundo punto debemos advertir que, siendo cualquier modelo una simplificación, la realidad puede admitir varios modelos distintos, según qué aspectos se obvien y cuáles se consideren. Por ejemplo, el criterio de “maximizar el área iluminada garantizando un mínimo de intensidad”, en el que se basan ambos relatos, podría muy bien ser sustituido por “maximizar la cantidad de luz recibida globalmente por la isleta”, que no es exactamente lo mismo.

Por último, también suele suceder que “la solución de un problema cambie el problema”. La conclusión de la madre de Irene en el segundo relato no hace sino abrir un mundo de preguntas. ¿Qué pasa si aumentamos el número de lados (un polígono de más de tres lados) o de farolas (varias a la vez iluminan la isleta)? ¿Y si, en ese caso, variamos la altura o intensidad lumínica de cada farola, o si las farolas resultan ser focos direccionables? Etc.

Sea cual fuere el criterio seguido y las condiciones más o menos generales, siempre deberemos volver a la realidad para cuestionar la idoneidad de las soluciones alcanzadas. ¡No sea que al final montemos un cristo!

Los relatos

El cristo de la farola (1ª parte)

El cristo de la farola (2ª parte)

Las construcciones

Archivo con todas las construcciones de GeoGebra
 

 
El cristo de la farola (1ª parte)
 
El encargo
  • Que dice el jefe que debes enviar a los operarios a colocar una farola en este triángulo. Y que se preparen, porque habrá que hacerlo en muchas más isletas triangulares. Parece que está de moda.

isleta

  • Bueh, eso está chupao. Pásame el móvil.
  • Espera, no es tan sencillo. Tienen que colocarla de forma que ilumine todo el triángulo.
  • ¡Con lo poco que alumbran! No sé, no sé. Les digo que la coloquen y ya veremos si da para tanto.
  • No, no me has entendido. El jefe quiere que la pongan de forma que quede a igual distancia de las tres esquinas. Él dice que sólo así logrará iluminarlo todo.

Me quedé mirando a mi compañero con la boca abierta. “A igual distancia de todas las esquinas”. Pero qué clase de orden es ésa, me dije.

  • ¿O sea que no te dijo exactamente dónde hay que ponerla?
  • No, me dijo que te encargases tú de averiguarlo.

El ordenador de Irene

Cuando llegué a mi casa seguía dándole vueltas al asunto. ¿Cómo podía averiguar cuál era el punto exacto? La toma eléctrica no llegaría hasta después de colocada la farola, así que no podía ensayar moviéndola al anochecer. Además, era muy pesada para moverla de un lado para otro...

Mi cara debía reflejar la preocupación que sentía, pues mi hija se apresuró a preguntarme qué me pasaba. Se lo resumí en pocas palabras.

  • ¡Uy, eso se parece a los problemas de matemáticas que aparecen en mi libro de 2º de ESO, pero ya sabes lo mala que soy para las mates!
  • Pues tengo que resolverlo esta noche, si no mañana quedaré en ridículo ante mi jefe. Y ni siquiera está tu madre, que de estas cosas es la que más sabe.
  • Espera, el profe nos enseñó un poco de un programa que por lo visto ayuda un montón a resolver ese tipo de problemas, ven, lo tengo instalado en el ordenador.

Acompañé a Irene hasta su cuarto. La idea del ordenador no me gustó mucho. Mi hija lo dominaba mucho mejor que yo y eso siempre me provocaba cierto desasosiego.

  • Mira, papá, el programa se llama GeoGebra, ¿ves? Aquí podemos dibujar lo que queramos y podemos moverlo. Por ejemplo, un triángulo, a ver, lo voy a pintar de verde... Y además se pueden pegar imágenes, es lo que más me gusta, mira voy a pegar la imagen de esta farola que encontré en Internet y la coloco sobre este punto naranja.

farola

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

  • Queda bonito, sí. Pero no veo en qué nos puede ayudar.
  • Pues es muy fácil, dibujamos los segmentos que van de la farola a los vértices, y comparamos sus medidas hasta que sean iguales. Mira, creo que ya está.

imagen

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

  • Pero la isleta donde hay que colocar la farola no tiene esa forma, ni esas medidas. Y es sólo la primera de una serie, cada una diferente, supongo.
  • Anda, pues claro. Esto no sirve. Hay que encontrar un método que sirva para cualquier triángulo.

En busca del tesoro

Me quedé mirando la figura.

  • Oye, cielo, ¿podrías mover la farola de manera que se mantenga siempre a la misma distancia de A y B?
  • Lo voy a intentar, espera... voy a hacer que el punto naranja deje rastro de por donde va... así, ya está... Uy, tengo que ajustar constantemente... Bueno, más o menos, iría por ahí... ¡Papá! Parece que sigue una línea recta.

imagen farola

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

  • Sí, una línea recta que se encamina perpendicularmente hacia el punto medio de ese lado... Es lógico, esa perpendicular se comporta como un espejo entre A y B, como la red en una pista de tenis...
  • Eso se llama mediatriz, papá.
  • ¿Cómo?
  • Lo que acabas de decir. “La línea perpendicular a un segmento por su punto medio se llama mediatriz” – recitó, orgullosa.

Presté más atención. Conque mediatriz, ¿eh?

  • A ver, a ver... ¿Y este programa tan listo es capaz de trazar... “mediatrices”?
  • Espera... Sí, aquí está, ¿ves? Este botón de aquí.
  • Pues traza la mediatriz del lado entre A y B, a ver cómo queda, y de paso vuelve a dejar la farola donde estaba.

imagen farola

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

Pegué un grito de alegría.

  • ¡Ya está, ya está!
  • Ya está, ¿el qué?
  • Irene, ¡ya está resuelto! Fíjate, si hacemos lo mismo con los otros lados, bueno, basta hacerlo con otro... Si trazamos otra medi... mediatriz, eso, donde se junten ahí habrá que poner la farola.
  • ¡Qué bien! Espera, lo voy a hacer.

imagen farola

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

Ahí estaba, como un mapa del tesoro, sólo que era una especie de mapa universal, pues la isla triangular podía tener cualquier forma o medidas.

  • A ver, prueba a mover A, o B, o C y lleva la farola al punto de corte... ¡Funciona! Sea cual sea la forma del triángulo ese punto siempre queda a la misma distancia de las esquinas. ¡Es fantástico!
  • Mira papá, en el libro aparece un dibujo parecido, sólo que con un círculo alrededor y la tercera mediatriz, que corta a las otras dos en el mismo punto.
  • ¿A ver? Sí, ¡claro! Ese círculo es la luz de la farola, o sea, la farola es el centro de ese círculo.
  • Aquí dice que se llama circuncentro, mira papá: “El punto donde se encuentran las mediatrices de un triángulo se llama circuncentro por ser el centro de la circunferencia que pasa por sus vértices.”

En ese momento recordé lo mucho que me fastidiaban las clases de matemáticas cuando era niño. Estaba claro que no recordaba nada de lo que aparecía en el libro, pero ahora me resultaba absolutamente fascinante.

  • Hija, creo que me perdí muchas cosas maravillosas cuando era niño... Bueno, prueba a dibujar ese círculo, vamos a comprobar eso.
  • Ya lo entiendo. Como la distancia de los vértices a la farola es la misma, los tres tienen que estar en la circunferencia porque –volvió a recitar– “todos los puntos de la circunferencia distan lo mismo del centro”.

imagen farola

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

  • Cielo, ¡hoy nos hemos ganado la cena! Venga, ayúdame a poner la mesa.

Otra vuelta de tuerca

Después de la cena, nos quedamos viendo un poco la tele. Me encontraba agotado, aunque feliz. Pero de pronto, una sospecha, como una sombra, nubló mi pensamiento.

  • Irene, vuelve a encender el ordenador, creo que algo no funciona.
  • Pero papá, si ya hemos visto que sí.
  • Bueno, pero quiero comprobar una cosa.

Empezaba a encontrarme realmente nervioso. Intenté tranquilizarme para no asustar a mi hija, pero cada vez estaba más convencido de que algo iba mal.

  • Mira, ¿ves? Aquí está la farola, donde debe de estar. No hay nada mal.
  • Espera, espera, prueba a mover A hacia el lado entre B y C.

imagen farola

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

  • Vaya, lo que me temía. Hay triángulos en los que la farola quedaría fuera. Pero eso no es lo que quiere el jefe. La farola tiene que estar colocada dentro de la isleta. Así que ese famoso cir...
  • Circuncentro.
  • Eso, pues que puede que no valga. Tengo que asegurarme antes de mañana, no vaya a meter la pata.
  • Papá... estoy pensando... ¿y si la dejas en el punto más cercano al circuncentro, pero que esté en la isleta?
  • Pero entonces ya no quedaría a igual distancia de las tres esquinas. Tal como lo construimos, ese punto, el circuncentro, es único, no puede haber otro que cumpla eso.

Irene hizo una mueca simulando enfado.

  • Y eres tú quien me recuerda cada dos por tres que no siempre se puede tener todo...
  • Lo mantengo, Irene, y creo que estamos en uno de esos casos. No podemos tenerlo todo.
  • Bueno, ya que no podemos tener la solución que cumpla todo, ¿por qué no quedarnos con la solución que cumpla lo fundamental?

Me quedé unos segundos pensando la respuesta.

  • Bien, hija, pues lo fundamental es que la farola esté en la isleta y la ilumine por completo.

Mientras hablaba, Irene hizo retroceder lentamente el punto A hasta que el circuncentro quedó de nuevo en la isleta.

imagen farola

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

  • Si el vértice A no se acercase más al lado opuesto, se cumpliría todo, papá.
  • ¡Claro! ¡Creo que ya lo tenemos! ¿Podrías mantener fijo ese triángulo y crear otro con los mismos vértices B y C? Pon el tercer vértice dentro de la isleta.

imagen farola

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

  • Ya está, papá. ¡Ah, ya comprendo! El punto D está más cerca de la farola que el punto A, así que siempre quedará iluminado ¡sin necesidad de mover la farola de donde está!
  • Así que si la farola cae fuera, la dejo en el punto medio de ese lado grande y asunto resuelto. ¡Eres muy lista, sales a tu madre!
  • Tú también fuiste muy listo... ¡al pedirme ayuda!
  • ¿Ah, sí? Verás como te coja...

El lugar ideal

Cuando regresé a casa el día siguiente, le mostré a Irene una construcción que yo mismo había realizado con GeoGebra, ese maravilloso programa que había salvado mi reputación.

  • Mira, Irene, esta es la isleta de la farola. He trazado las mediatrices y ahí tienes el circuncentro. Ya ves que recuerdo esas palabras. Fíjate, ¡si nos hubiésemos conformado con él, fíjate dónde estaría ahora colocada la dichosa farola! ¡En el medio de la calzada! –y solté una carcajada.
  • ¡Qué lío se hubiera montado!
  • Uf, más que un lío, se habría montado “un cristo”, ¡el cristo de la farola! –grité sin poder dejar de reírme, abrazando a mi tesoro.

imagen farola

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

 

 
El cristo de la farola (2ª parte)
 
La madre de Irene

Poco tiempo después, Irene pudo abrazar también a su madre, quien se veía obligada a viajar con cierta frecuencia a Madrid en su condición de miembro del Consejo Superior de Investigaciones Científicas.

Irene le relató con pelos y señales todo lo ocurrido con el asunto de la farola. Su madre no paró de alabar su ingenio, mientras reía a cada nueva peripecia que Irene, encantada del éxito de su narración, le transmitía.

  • Bien, Irene. ¡Tendré que ver ese programa GeoGebra! Pero lo haré mañana, ahora estoy agotada. ¡Me voy a la cama! Tú también, es tarde.

Al día siguiente, pudo observar en el ordenador las construcciones de su hija y su marido. La imagen de la farola en medio de la calzada no le sorprendió. Irene ya le había advertido del “cristo de la farola”. Mientras sonreía, algo en su intuición de investigadora acostumbrada a no conformarse con la primera impresión hizo que le dedicase más atención.

  • Hmm. Parece que aquí puede haber tomate –pensó. -¿Por qué el jefe había asegurado que “sólo colocando la farola en determinado lugar se conseguiría iluminar completamente la isleta”?

La única explicación que encontraba es que la iluminación de la farola tuviese un alcance limitado, es decir, un radio de acción a partir del cual la iluminación no se considerase suficiente.

Farola tradicional

Farola tradicional

  • Suena razonable. Muchas farolas poseen reflectores en su parte superior que devuelven la luz hacia el suelo, formando un cono de mayor intensidad lumínica. Incluso en una farola “contaminante”, que desperdicia un montón de luz enviándola al cielo, parece claro que a partir de una distancia desde la base de la farola la iluminación del suelo resulta deficiente.

Farola contaminante

Farola contaminante

Decidió etiquetar los números y objetos geométricos que fueran surgiendo, para facilitar su referencia, sin saber todavía que GeoGebra ya lo hacía automáticamente.

  • Llamaré d a esa “distancia de alcance admitido”. Si lo que aseguraba el jefe es cierto, el lado mayor de la isleta mide exactamente 2d. Bien, de esta forma todo lo que contó Irene tiene sentido, pero...

No sabía exactamente que significaba “pero...” hasta que pudo expresarlo en palabras:

  • Siendo así, la solución hallada sólo sirve para este tipo de isleta, muy particular. ¿Qué pasará cuando el lado mayor de la isleta triangular sea menor o mayor que 2d?

Bastó que formulase la pregunta para saber que ya sentía esa curiosidad familiar, esa inquietud mental, ese cosquilleo que le había llevado primero a doctorarse en Matemáticas y posteriormente a ocupar su puesto en una organización de alto nivel científico.

  • Creo que no andaba descaminada. Aquí hay tomate del bueno. Veamos, si el lado mayor de la isleta es más pequeño la solución encontrada continúa siendo válida (aunque haya más puntos válidos). Entonces la dificultad se encuentra cuando es mayor que 2d. ¡Buen problema! Tendré jugar un poco con este GeoGebra. Pero eso será mañana.

En efecto, al día siguiente...

La primera iluminación

  • Vaya, me gusta, es una aplicación muy intuitiva. Aquí está el gráfico dinámico. He llamado R al radio de la circunferencia circunscrita, así que en esta situación el radio de alcance de la farola (d) es menor que R (d<R). ¿Dónde colocar ahora la farola? Hasta ahora, sólo conozco la solución cuando d=R (que es o bien el circuncentro O o bien el punto medio del lado mayor).

imagen

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

Como la farola no lograría, en estas condiciones, iluminar completamente la isleta, razonó que el punto ideal sería aquél que iluminase más superficie del triángulo.

  • Esto parece un eclipse, cambiando sombra por luz. El círculo amarillo eclipsa al triángulo en una determinada superficie, con un área específica. El objetivo es conseguir que esa área sea máxima.

Buscó por los comandos de GeoGebra alguno que calculase el área de intersección de dos objetos geométricos, sin éxito.

  • Veamos, la aplicación dispone de áreas de círculos, polígonos, sectores circulares... Creo que con eso me debe llegar, si descompongo el área de intersección de forma adecuada y sumo las partes.

Pronto se dio cuenta de que esto no era difícil, pero le llevaría algún tiempo. El círculo podía eclipsar al triángulo de varias formas distintas, según cuántos lados intersecase y cuántos vértices “ocultase”.

  • Bien mañana me pondré construir el cálculo de esa área. Ahora quiero explorar un poco más el problema, tal vez observe algo interesante.

Después de jugar un rato a variar los elementos dinámicos (los vértices, el punto rojo -base de la farola- y el radio de alcance), cayó en la cuenta de que el problema se encontraba también acotado inferiormente.

  • Vaya, si el alcance (d) es suficientemente pequeño, no hay dificultad alguna en determinar un punto que no desperdicie luz, pues es fácil situar la farola de forma que el círculo que ilumina caiga completamente dentro del triángulo.

Recordando los puntos notables del triángulo, no tuvo dificultad en encontrar el punto exacto en donde la circunferencia era tangente a los tres lados: el incentro I (punto de encuentro de las bisectrices), centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

imagen

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

  • Justo. Llamando r al radio de la circunferencia inscrita, el problema también está resuelto si d<r, pues entonces basta colocar a la farola en el incentro. En la figura tengo el mayor círculo que cabe completamente en el triángulo y el menor círculo que lo contiene completo. Por lo tanto, sólo debo estudiar el caso en el que el alcance de la farola se encuentra entre r y R (r<d<R).

En ese momento tuvo la primera idea. Si las circunferencias inscrita y circunscrita eran casos “extremos”, es decir, la posición de la farola es I cuando d=r, mientras que pasa a ser O cuando d=R, entonces aumentando de forma continua el alcance d, entre r y R, la posición de la farola seguramente viajará también de forma continua de I a O.

Pero esto sólo lo podía experimentar cuando pudiese calcular el área eclipsada. En los dos días siguientes dedicó algunos ratos libres a realizar ese cálculo.

descomposición

La segunda iluminación

  • Por fin. Parece que esto ya funciona correctamente, en todos los casos. Bueno, si no es en todos, todos, por lo menos en los suficientes para investigar. Ahora, a usar esta calculadora geométrica. En todo momento veré el área eclipsada, con mucha precisión.

Antes de empezar, decidió fijar los vértices A, B y C. Así impediría que se moviesen por descuido.

imagen

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

Comenzó a mover el punto rojo, base de la farola, de forma que en cada paso el área eclipsada efectivamente variaba. Buscó el punto correspondiente al área máxima y lo encontró rápidamente, ayudándose del potente zoom de GeoGebra. Creó un nuevo punto copiando las coordenadas encontradas y lo fijó para usarlo como marca.

imagen

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

Prosiguió de la misma forma con distintos valores, a intervalos regulares, del radio de alcance de la farola, entre r y R.

  • ¡Bingo! La trayectoria se adivina perfectamente... aunque no es la línea recta que esperaba. Más bien parece un arco de circunferencia. A ver, trazaré una circunferencia que pase por I, por O y por una de esas marcas. Si la circunferencia también pasa por el resto de marcas, ya está.

imagen

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

Al aproximarse al arco de la circunferencia observó que el resto de las marcas, aunque muy próximas, no yacían sobre él.

  • No, las marcas no descansan sobre una circunferencia. Sin embargo, todo parece indicar que pertenecen a un lugar geométrico sencillo. Tendré que darle más vueltas.

La gran iluminación

Pensó que si no estaban en una circunferencia, tal vez reposarían sobre otra cónica. A fin de cuentas, cada punto de la trayectoria quedaba determinado por la posición de los tres vértices y por el radio de alcance la farola. Y una cónica quedaba determinada por 5 puntos de la curva. Conocía dos de ellos, el incentro y el circuncentro. Necesitaba otros tres.

  • Tres puntos más. Tres puntos más... Veamos, el arco comienza en el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita que estoy viendo. Esa circunferencia es la única circunferencia tangente a los tres lados del triángulo. Un momento, es la única... ¡en el interior! Si considero los lados como parte de rectas, existen otras tres circunferencias más tangentes a ellas, “por fuera”.

Se propuso construirlas.

  • Veamos, si el incentro es donde se encuentran las bisectrices interiores, los centros de las circunferencias tangentes por el exterior estarán donde se encuentren las bisectrices exteriores, digo yo... ¡Pues sí, efectivamente!

imagen

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

  • ¡Ya recuerdo! Esos centros se llamaban, lógicamente, excentros. Bien, ahora la prueba de fuego: ¿la cónica que une a esos 5 centros (incentro, circuncentro, excentros), pasará por todas las marcas?

imagen

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

  • ¡Síiiiiii! ¡Este programa es una maravilla! Es una hipérbola. A ver, GeoGebra, dime cosas sobre ella: ¿dónde están sus focos y el centro, cuáles son sus asíntotas, qué ángulo forman, a qué dedica el tiempo libre?

imagen

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

  • Las asíntotas de la hipérbola se cortan en ángulo recto, así que se trata de una hipérbola equilátera. Además, el centro de esta hipérbola pertenece a la circunferencia circunscrita. Voy a buscar en Internet a ver si encuentro información sobre ella.

A los pocos minutos la búsqueda había dado resultados y la hipérbola ya tenía nombre. Se trataba de la hipérbola de Stammler, cuyo centro se conocía como el punto X110, que es el punto de encuentro de las rectas simétricas a la recta de Euler respecto a los lados del triángulo.

  • ¡Así que la base de cualquier farola debe situarse en la hipérbola de Stammler, qué te parece! Voy a comprobar eso de las rectas simétricas a la de Euler (que pasa por O y el baricentro G). Para determinar el baricentro me basta escribir G = (A+B+C) / 3.

imagen

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

La cuarta iluminación

  • Bien, ya es hora de liberar a los vértices, pobres, ahí sin poder moverse, y comprobar todo esto en cualquier otro triángulo.

Así lo hizo. Para su satisfacción todos los puntos que maximizaban el área yacían una y otra vez sobre la hipérbola de Stammler. Pero de pronto, ¡la sorpresa!

imagen

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

  • ¡De nuevo aparece “el cristo de la farola” que me contaba Irene! ¡Ya sé por qué los perros hacen lo que hacen con las farolas! ¡La madre que...!

Procuró tranquilizarse.

  • Resumamos. Cuando el circuncentro cae fuera de la isleta, es decir, cuando el triángulo es obtusángulo, aparecen puntos que no pertenecen a la hipérbola. Así que tendré que volver a emplear el método de Pulgarcito dejando marcas que señalen la nueva trayectoria.

Al cabo de unos minutos ya tenía otro camino que rastrear.

imagen

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

  • Evidentemente, los puntos que no caen en la hipérbola están alineados. Pero, ¿cuál es esa recta?

Pronto descubrió que la recta pasaba por el punto medio (M) del lado mayor, justo la solución del problema original de la isleta que le contó Irene. Pero para determinar esa recta precisaba de otro punto más.

  • Veamos, esa recta corta a la hipérbola en dos puntos. En uno de ellos es donde se produce el cambio brusco de trayectoria (¡un buen ejemplo de trayectoria continua pero no derivable en ese punto!). El otro punto, el que se encuentra más allá del incentro... ¿Qué tiene de especial ese otro punto? Si es que tiene algo...

Exploró y exploró la figura sin encontrar nada peculiar. Pero su intuición le decía que ese punto tenía que ser especial.

  • Creo que estoy atascada. Retrocederé un poco. El punto M es el punto medio de uno de los lados. Los puntos medios de los lados están relacionados con las mediatrices, que se encuentran en el circuncentro O, y con las medianas. Como O ya no resulta ser un punto óptimo, voy a trazar las medianas, a ver si me dan alguna pista.

imagen

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

Se quedó observando la imagen largo rato. Para determinar la posición del punto especial necesitaba otra línea, además de la hipérbola, que pasase por él.

  • Me faltan líneas. Ya que he unido M con B, haré lo mismo con el incentro y con el punto especial, tal vez encuentre algo.

imagen

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

  • ¡Ya lo tengo! La bisectriz del triángulo que pasa por B también es bisectriz respecto a las otras dos rectas (BM y BEspecial). O lo que significa lo mismo, ¡la recta que buscaba es la simétrica de la mediana respecto a la bisectriz interior del triángulo!

Igual que anteriormente, buscó información en Internet acerca de esa nueva recta.

  • ¡Aquí está! “La recta simétrica a una mediana respecto a la bisectriz interior trazada desde el mismo vértice se llama simediana” (en mi figura es la recta que pasa por B y por Especial). “El punto donde se encuentran las simedianas se conoce como punto simediano o punto de Lemoine (L)”. ¡Así que éste es el punto especial que andaba buscando! ¡Tengo que contarle todo esto a Irene!

imagen

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella

Ley de la madre de Irene

Dado un triángulo no obtusángulo, todos los círculos que maximizan el área de intersección con el triángulo tienen sus centros en el arco hiperbólico que une el incentro con el circuncentro sobre la hipérbola de Stammler.

Si el triángulo es obtusángulo, esos centros se sitúan en el segmento MH y en el arco hiperbólico HI sobre la hipérbola de Stammler, siendo M el punto medio del lado mayor del triángulo y H el punto de intersección de la hipérbola con el segmento que une  M con el punto de Lemoine.

imagen

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella


imagen

Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella


 
Volver