La madre de Irene

Poco tiempo después, Irene pudo abrazar también a su madre, quien se veía obligada a viajar con cierta frecuencia a Madrid en su condición de miembro del Consejo Superior de Investigaciones Científicas.

Irene le relató con pelos y señales todo lo ocurrido con el asunto de la farola. Su madre no paró de alabar su ingenio, mientras reía a cada nueva peripecia que Irene, encantada del éxito de su narración, le transmitía.

• Bien, Irene. ¡Tendré que ver ese programa GeoGebra! Pero lo haré mañana, ahora estoy agotada. ¡Me voy a la cama! Tú también, es tarde.

Al día siguiente, pudo observar en el ordenador las construcciones de su hija y su marido. La imagen de la farola en medio de la calzada no le sorprendió. Irene ya le había advertido del “cristo de la farola”. Mientras sonreía, algo en su intuición de investigadora acostumbrada a no conformarse con la primera impresión hizo que le dedicase más atención.

• Hmm. Parece que aquí puede haber tomate –pensó. -¿Por qué el jefe había asegurado que “sólo colocando la farola en determinado lugar se conseguiría iluminar completamente la isleta”?

La única explicación que encontraba es que la iluminación de la farola tuviese un alcance limitado, es decir, un radio de acción a partir del cual la iluminación no se considerase suficiente.

• Suena razonable. Muchas farolas poseen reflectores en su parte superior que devuelven la luz hacia el suelo, formando un cono de mayor intensidad lumínica. Incluso en una farola “contaminante”, que desperdicia un montón de luz enviándola al cielo, parece claro que a partir de una distancia desde la base de la farola la iluminación del suelo resulta deficiente.

Decidió etiquetar los números y objetos geométricos que fueran surgiendo, para facilitar su referencia, sin saber todavía que GeoGebra ya lo hacía automáticamente.

• Llamaré d a esa “distancia de alcance admitido”. Si lo que aseguraba el jefe es cierto, el lado mayor de la isleta mide exactamente 2d. Bien, de esta forma todo lo que contó Irene tiene sentido, pero...

No sabía exactamente que significaba “pero...” hasta que pudo expresarlo en palabras:

• Siendo así, la solución hallada sólo sirve para este tipo de isleta, muy particular. ¿Qué pasará cuando el lado mayor de la isleta triangular sea menor o mayor que 2d?

Bastó que formulase la pregunta para saber que ya sentía esa curiosidad familiar, esa inquietud mental, ese cosquilleo que le había llevado primero a doctorarse en Matemáticas y posteriormente a ocupar su puesto en una organización de alto nivel científico.

• Creo que no andaba descaminada. Aquí hay tomate del bueno. Veamos, si el lado mayor de la isleta es más pequeño la solución encontrada continúa siendo válida (aunque haya más puntos válidos). Entonces la dificultad se encuentra cuando es mayor que 2d. ¡Buen problema! Tendré jugar un poco con este GeoGebra. Pero eso será mañana.

En efecto, al día siguiente...

La primera iluminación

• Vaya, me gusta, es una aplicación muy intuitiva. Aquí está el gráfico dinámico. He llamado R al radio de la circunferencia circunscrita, así que en esta situación el radio de alcance de la farola (d) es menor que R (d<R). ¿Dónde colocar ahora la farola? Hasta ahora, sólo conozco la solución cuando d=R (que es o bien el circuncentro O o bien el punto medio del lado mayor).

Como la farola no lograría, en estas condiciones, iluminar completamente la isleta, razonó que el punto ideal sería aquél que iluminase más superficie del triángulo.

• Esto parece un eclipse, cambiando sombra por luz. El círculo amarillo eclipsa al triángulo en una determinada superficie, con un área específica. El objetivo es conseguir que esa área sea máxima.

Buscó por los comandos de GeoGebra alguno que calculase el área de intersección de dos objetos geométricos, sin éxito.

• Veamos, la aplicación dispone de áreas de círculos, polígonos, sectores circulares... Creo que con eso me debe llegar, si descompongo el área de intersección de forma adecuada y sumo las partes.

Pronto se dio cuenta de que esto no era difícil, pero le llevaría algún tiempo. El círculo podía eclipsar al triángulo de varias formas distintas, según cuántos lados intersecase y cuántos vértices “ocultase”.

• Bien mañana me pondré construir el cálculo de esa área. Ahora quiero explorar un poco más el problema, tal vez observe algo interesante.

Después de jugar un rato a variar los elementos dinámicos (los vértices, el punto rojo -base de la farola- y el radio de alcance), cayó en la cuenta de que el problema se encontraba también acotado inferiormente.

• Vaya, si el alcance (d) es suficientemente pequeño, no hay dificultad alguna en determinar un punto que no desperdicie luz, pues es fácil situar la farola de forma que el círculo que ilumina caiga completamente dentro del triángulo.

Recordando los puntos notables del triángulo, no tuvo dificultad en encontrar el punto exacto en donde la circunferencia era tangente a los tres lados: el incentro I (punto de encuentro de las bisectrices), centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

• Justo. Llamando r al radio de la circunferencia inscrita, el problema también está resuelto si d<r, pues entonces basta colocar a la farola en el incentro. En la figura tengo el mayor círculo que cabe completamente en el triángulo y el menor círculo que lo contiene completo. Por lo tanto, sólo debo estudiar el caso en el que el alcance de la farola se encuentra entre r y R (r<d<R).

En ese momento tuvo la primera idea. Si las circunferencias inscrita y circunscrita eran casos “extremos”, es decir, la posición de la farola es I cuando d=r, mientras que pasa a ser O cuando d=R, entonces aumentando de forma continua el alcance d, entre r y R, la posición de la farola seguramente viajará también de forma continua de I a O.

Pero esto sólo lo podía experimentar cuando pudiese calcular el área eclipsada. En los dos días siguientes dedicó algunos ratos libres a realizar ese cálculo.

La segunda iluminación

• Por fin. Parece que esto ya funciona correctamente, en todos los casos. Bueno, si no es en todos, todos, por lo menos en los suficientes para investigar. Ahora, a usar esta calculadora geométrica. En todo momento veré el área eclipsada, con mucha precisión.

Antes de empezar, decidió fijar los vértices A, B y C. Así impediría que se moviesen por descuido.

Comenzó a mover el punto rojo, base de la farola, de forma que en cada paso el área eclipsada efectivamente variaba. Buscó el punto correspondiente al área máxima y lo encontró rápidamente, ayudándose del potente zoom de GeoGebra. Creó un nuevo punto copiando las coordenadas encontradas y lo fijó para usarlo como marca.

Prosiguió de la misma forma con distintos valores, a intervalos regulares, del radio de alcance de la farola, entre r y R.

• ¡Bingo! La trayectoria se adivina perfectamente... aunque no es la línea recta que esperaba. Más bien parece un arco de circunferencia. A ver, trazaré una circunferencia que pase por I, por O y por una de esas marcas. Si la circunferencia también pasa por el resto de marcas, ya está.

Al aproximarse al arco de la circunferencia observó que el resto de las marcas, aunque muy próximas, no yacían sobre él.

• No, las marcas no descansan sobre una circunferencia. Sin embargo, todo parece indicar que pertenecen a un lugar geométrico sencillo. Tendré que darle más vueltas.

La gran iluminación

Pensó que si no estaban en una circunferencia, tal vez reposarían sobre otra cónica. A fin de cuentas, cada punto de la trayectoria quedaba determinado por la posición de los tres vértices y por el radio de alcance la farola. Y una cónica quedaba determinada por 5 puntos de la curva. Conocía dos de ellos, el incentro y el circuncentro. Necesitaba otros tres.

• Tres puntos más. Tres puntos más... Veamos, el arco comienza en el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita que estoy viendo. Esa circunferencia es la única circunferencia tangente a los tres lados del triángulo. Un momento, es la única... ¡en el interior! Si considero los lados como parte de rectas, existen otras tres circunferencias más tangentes a ellas, “por fuera”.

Se propuso construirlas.

• Veamos, si el incentro es donde se encuentran las bisectrices interiores, los centros de las circunferencias tangentes por el exterior estarán donde se encuentren las bisectrices exteriores, digo yo... ¡Pues sí, efectivamente!

• ¡Ya recuerdo! Esos centros se llamaban, lógicamente, excentros. Bien, ahora la prueba de fuego: ¿la cónica que une a esos 5 centros (incentro, circuncentro, excentros), pasará por todas las marcas?

• ¡Síiiiiii! ¡Este programa es una maravilla! Es una hipérbola. A ver, GeoGebra, dime cosas sobre ella: ¿dónde están sus focos y el centro, cuáles son sus asíntotas, qué ángulo forman, a qué dedica el tiempo libre?

• Las asíntotas de la hipérbola se cortan en ángulo recto, así que se trata de una hipérbola equilátera. Además, el centro de esta hipérbola pertenece a la circunferencia circunscrita. Voy a buscar en Internet a ver si encuentro información sobre ella.

A los pocos minutos la búsqueda había dado resultados y la hipérbola ya tenía nombre. Se trataba de la hipérbola de Stammler, cuyo centro se conocía como el punto X110, que es el punto de encuentro de las rectas simétricas a la recta de Euler respecto a los lados del triángulo.

• ¡Así que la base de cualquier farola debe situarse en la hipérbola de Stammler, qué te parece! Voy a comprobar eso de las rectas simétricas a la de Euler (que pasa por O y el baricentro G). Para determinar el baricentro me basta escribir G = (A+B+C) / 3.

La cuarta iluminación

• Bien, ya es hora de liberar a los vértices, pobres, ahí sin poder moverse, y comprobar todo esto en cualquier otro triángulo.

Así lo hizo. Para su satisfacción todos los puntos que maximizaban el área yacían una y otra vez sobre la hipérbola de Stammler. Pero de pronto, ¡la sorpresa!

• ¡De nuevo aparece “el cristo de la farola” que me contaba Irene! ¡Ya sé por qué los perros hacen lo que hacen con las farolas! ¡La madre que...!

Procuró tranquilizarse.

• Resumamos. Cuando el circuncentro cae fuera de la isleta, es decir, cuando el triángulo es obtusángulo, aparecen puntos que no pertenecen a la hipérbola. Así que tendré que volver a emplear el método de Pulgarcito dejando marcas que señalen la nueva trayectoria.

Al cabo de unos minutos ya tenía otro camino que rastrear.

• Evidentemente, los puntos que no caen en la hipérbola están alineados. Pero, ¿cuál es esa recta?

Pronto descubrió que la recta pasaba por el punto medio (M) del lado mayor, justo la solución del problema original de la isleta que le contó Irene. Pero para determinar esa recta precisaba de otro punto más.

• Veamos, esa recta corta a la hipérbola en dos puntos. En uno de ellos es donde se produce el cambio brusco de trayectoria (¡un buen ejemplo de trayectoria continua pero no derivable en ese punto!). El otro punto, el que se encuentra más allá del incentro... ¿Qué tiene de especial ese otro punto? Si es que tiene algo...

Exploró y exploró la figura sin encontrar nada peculiar. Pero su intuición le decía que ese punto tenía que ser especial.

• Creo que estoy atascada. Retrocederé un poco. El punto M es el punto medio de uno de los lados. Los puntos medios de los lados están relacionados con las mediatrices, que se encuentran en el circuncentro O, y con las medianas. Como O ya no resulta ser un punto óptimo, voy a trazar las medianas, a ver si me dan alguna pista.

Se quedó observando la imagen largo rato. Para determinar la posición del punto especial necesitaba otra línea, además de la hipérbola, que pasase por él.

• Me faltan líneas. Ya que he unido M con B, haré lo mismo con el incentro y con el punto especial, tal vez encuentre algo.

• ¡Ya lo tengo! La bisectriz del triángulo que pasa por B también es bisectriz respecto a las otras dos rectas (BM y BEspecial). O lo que significa lo mismo, ¡la recta que buscaba es la simétrica de la mediana respecto a la bisectriz interior del triángulo!

Igual que anteriormente, buscó información en Internet acerca de esa nueva recta.

• ¡Aquí está! “La recta simétrica a una mediana respecto a la bisectriz interior trazada desde el mismo vértice se llama simediana” (en mi figura es la recta que pasa por B y por Especial). “El punto donde se encuentran las simedianas se conoce como punto simediano o punto de Lemoine (L)”. ¡Así que éste es el punto especial que andaba buscando! ¡Tengo que contarle todo esto a Irene!

Ley de la madre de Irene

Dado un triángulo no obtusángulo, todos los círculos que maximizan el área de intersección con el triángulo tienen sus centros en el arco hiperbólico que une el incentro con el circuncentro sobre la hipérbola de Stammler.

Si el triángulo es obtusángulo, esos centros se sitúan en el segmento MH y en el arco hiperbólico HI sobre la hipérbola de Stammler, siendo M el punto medio del lado mayor del triángulo y H el punto de intersección de la hipérbola con el segmento que une  M con el punto de Lemoine.

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