26. El número π y la flexibilidad del papel |
Escrito por Jesús de la Peña Hernández | ||||||||||||
Viernes 01 de Febrero de 2008 | ||||||||||||
Parece razonable hablar de flexibilidad cuando nos referimos a la papiroflexia. En la práctica, toda la actividad papirofléctica se ha venido desarrollando como acción de plegado del papel. Es obvio que para plegar hay que hacer que el papel flexe antes, pero ello no evita la sospecha de que estemos empleando mal el lenguaje: si lo esencial de la papiroflexia es que plegamos, llamémosla con el neologismo papiroplegia (así, con g de plegar; con j -papiroplejia- parecería un vocablo médico). La papiroflexia pura es la que empleamos, p.e, en las cintas de Moebius [ver www.caprichos-ingenieros.com; QUÉ; PAPIROFLEXIA; Mathematics and Origami (.pdf en inglés); buscar Möbius´bands)], y es la que de manera muy elemental vamos a usar a continuación para introducirnos en el número π. Se trata de enrollar papel sobre un cilindro pre-existente a fin de conseguir una especie de canuto de papel multicapa con forma cilíndrica consistente. Luego se estudian sus distintas secciones circulares. Ha de buscarse un cilindro pre-existente que tenga garantía geométrica (metálico mecanizado, de plástico duro moldeado, etc). Evitar los canutos de rollo de papel higiénico o similares). La idea es poder relacionar la longitud de un papel desarrollado, con el diámetro a que da lugar cuando el papel está enrollado en círculos. En definitiva, esa relación es la que conduce al valor de π. Es lo que vamos a hacer experimentalmente. Es ésta la mejor manera de conseguir cilindros de papel bastante precisos. Pretenderlo con una sola capa cerrando la superficie cilíndrica con una pestaña no conduce sino a una superficie cilíndrica espontáneamente deformada por causa de la discontinuidad de la flexibilidad del papel en las proximidades de la pestaña. La Fig. 1 muestra lo que se acaba de decir. El papel enrollado es un DIN A4 que determina una generatriz de 210 mm y una longitud enrollada IE = 297 mm. Lo primero que necesitamos es saber el espesor a del papel. Para ello se tomaron 181 hojas con un espesor total de 20 mm. Su peso de 900 gramos aseguraba un buen recalcado del paquete. Así pues, era El proceso a seguir fue éste:
Así pues, se podrá escribir: En el sustraendo del denominador tenemos la suma de los términos de una progresión aritmética que vale: an(n-1) / 2 De forma que: EI = 297; EE´= 13,5; n = 4; d = 23; a = 0,11 resultando: (1) Comparando el resultado hallado con el que da para π una pequeña calculadora de bolsillo (* 3,1415927) podríamos llegar a una gran frustración; sin embargo, no hay motivo de desánimo.
π ≈ 28350/9068 (2)
El hombre lleva 4.000 años persiguiendo a π. Los discípulos de Euclides ya sabían que su valor debía estar comprendido entre 3 y 4, ya que la relación de perímetro a diámetro en un hexágono inscrito es 3, y en un cuadrado circunscrito es 4. Fue Arquímedes quien lo descubrió.
Para terminar, y acorde con la horquilla arquimediana de 3 < π < 4, observemos la circunferencia como límite inferior del perímetro de un polígono de n lados circunscrito a ella y como límite superior de otro polígono también de n lados, pero esta vez inscrito en ella, cuando n tiende a infinito. Veamos los valores de esta desigualdad para distintos polígonos.
(para n = 50.000 se produce la saturación de la pantalla de la calculadora) El proceso seguido es el conocido como método de exhausción, de Arquímedes de Siracusa. Mediante él, al avanzar el cálculo, aumenta el grado de precisión de los resultados. A la vista de todo lo anterior, ya no parece tan descorazonador el resultado obtenido para π con el experimento del canuto papirofléxico. Para más detalles se pueden consultar los siguientes enlaces: - http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.bullas/dp/matema/conocer/arquimedes.htm - http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80 - Jesús de la Peña Hernández |
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