El Teorema de los Poliedros en la última Proposición de Los Elementos de Euclides

Euclides. Biblioteca de El Escorial. Obra de P. Tibaldi. 1586.

«Euclides era platónico, [...], mejoró los trabajos de Teeteto, [...], se propuso como objetivo final del conjunto de sus Elementos la construcción de los cinco poliedros regulares».
Proclo. Comentario al Libro I de  Los Elementos de Euclides (Prólogo, 2ª Parte)

Según Proclo, Euclides se formó en el ámbito matemático de los sucesores de los discípulos de Platón, en la Academia de Atenas, y por ello tuvo que sufrir la fascinación de sus miembros por los cinco poliedros regulares –llamados Cuerpos Platónicos–, para incluirlos como clímax final, en el Libro XIII y último, de un tratado tan brillante como Los Elementos. De hecho diversos comentaristas griegos atribuyen gran parte del contenido del Libro XIII al gran matemático platónico Teeteto.

Fragmentos de los dibujos sobre de los Sólidos Platónicos que Leonardo da Vinci diseñó para la célebre obra de Luca Pacioli La Divina Proporción (Venecia, 1509). A pesar de su título, gran parte de esta magna obra está dedicada a un estudio exhaustivo de los poliedros tanto los platónicos como los arquimedianos.

El estudio euclídeo de los poliedros regulares es muy importante para la Historia de la Matemática porque contiene el primer ejemplo de un teorema fundamental de clasificación. Euclides introduce uno por uno, los poliedros regulares en las definiciones XI.12 (pirámide), XI.25 (cubo), XI.26 (octaedro), XI.27 (icosaedro), XI.28 (dodecaedro) de Los Elementos. El objetivo de los Teoremas del Libro XIII de Los Elementos es inscribir cada uno de los poliedros regulares en una esfera, construcciones que Euclides, con un extraordinario virtuosismo geométrico, obtiene, de forma sucesiva, en las Proposiciones XIII.13–XIII.17, hallando la razón de la arista del sólido al diámetro de la esfera circunscrita, obteniendo los resultados que se sintetizan en el cuadro adjunto que muestra la razón de la arista de cada sólido al radio R de la esfera circunscrita.