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El libro XIII de Los Elementos y con él toda la brillante obra de Euclides culmina con el brillante esplendor de la última proposición, que ocupa el lugar 465, la XIII.18:
«Construir los cinco poliedros regulares inscritos en la misma esfera y comparar las aristas de las cinco figuras».
 Euclides traza la figura siguiente tomando:
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AB diámetro de la esfera
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AC = CB, AD = 2DB
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AH = AB, CL = KC .
Y demuestra, paso a paso, utilizando numerosas proposiciones anteriores (en particular algunas de la sección áurea estudiadas en las proposiciones XIII.1–XIII.12 ), que:
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AZ es la arista t del tetraedro
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BZ es la arista c del cubo
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BE es la arista o del octaedro
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MB es la arista i del icosaedro
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NB es la arista d del dodecaedro
Siendo la relación entre ellas:
 Fragmento de la última Proposición (XIII.18) de Los Elementos de Euclides. Edición de Ratdolt (Venecia, 1482). Ejemplar de la Biblioteca del Monasterio de San Millán de Yuso. |
La última proposición de Los Elementos acaba, a su vez, con el teorema de clasificación de los poliedros, punto culminante de la obra de Euclides: «La Geometría ha dictaminado que aunque haya infinitos polígonos regulares el número de poliedros regulares –los cuerpos más bellos, según Platón (Timeo, 53d)– son cinco, ni más ni menos». La sencilla demostración de Euclides se basa en la Proposición XI.21 de Los Elementos: «Todo ángulo sólido es comprendido por ángulos planos menores que cuatro rectos». Euclides simplemente estudia las clases de polígonos que pueden formar las caras de los poliedros regulares, ante la restricción de que la suma de los ángulos planos de los polígonos que concurren en un ángulo sólido del vértice debe ser menor que cuatro ángulos rectos, es decir, menor de 360º.
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EXISTEN CINCO Y SÓLO CINCO SÓLIDOS PLATÓNICOS
EL TEXTO DE EUCLIDES (XIII.18)
(Euclides: Elementos. traduc. y notas de M.L.Puertas. Gredos. Madrid, 1996. Libro XIII, pp.355-356).
Digo ahora que, aparte de las cinco figuras antedichas, no se construirá otra figura comprendida por [figuras] equiláteras y equiangulares iguales entre sí.
Porque no se construye un ángulo sólido con dos triángulo o, en absoluto, con dos planos. Sino que el ángulo de la pirámide [Tetraedro] se construye con tres triángulos, el del octaedro con cuatro, el del icosaedro con cinco; pero no se construirá un ángulo sólido mediante seis triángulos equiláteros y equiangulares [colocados] en un sólo punto; porque si el ángulo del triángulo equilátero es dos tercios de un recto, los seis serán iguales a dos rectos; lo cual es imposible, porque todo ángulo sólido es comprendido por menos de cuatro rectos [Elementos, XI.21]. Por lo mismo, tampoco se construye un ángulo sólido con más de seis ángulos planos. Y el ángulo del cubo es comprendido por tres cuadrados; por cuatro es imposible, porque serán a su vez cuatro rectos. Y el [ángulo] del dodecaedro es comprendido por tres pentágonos equiláteros y equiangulares; por cuatro es imposible, porque, siendo el ángulo del pentágono equilátero un recto más un quinto, los cuatro ángulos serán mayores que cuatro rectos; lo cual es imposible. Y un ángulo sólido tampoco será comprendido por otros polígonos en razón de la misma imposibilidad.
Por consiguiente, aparte de las cinco figuras antedichas, no se construirá otra figura sólida comprendida por [figuras] equiláteras y equiangulares. Q.E.D
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Si traducimos el lenguaje retórico euclídeo en términos aritméticos, la demostración es similar a la de los mosaicos pitagóricos, pero aquí hay que resolver una inecuación en números enteros, la que resulta de la Proposición XI.21:
 , si concurren en un vértice del poliedro m polígonos regulares de n lados.
Esta inecuación es equivalente a (m–2)·(n–2)<4, que da como soluciones geométricas:
Según W.Dunham (en Viaje a través de los genios. Pirámide. Madrid, 1992. p.116):
«Euclides había mostrado que no podía haber más de cinco sólidos regulares –tres con triángulos equiláteros de caras, uno con cuadrados y otro con pentágonos–. Ninguna cantidad de esfuerzo o ingenio produciría un mayor número de estas notables figuras. Con esto termina el libro de los Elementos. Fue, y ha permanecido así durante 2.300 años, un documento matemático insuperado. Como toda gran obra maestra, puede ser leído una y otra vez, suministrando nuevos aspectos del genio de su creador. Aún hoy, estos viejos escritos constituyen una fuente ilimitada de goce para los que disfrutan con la ingeniosidad y el artificio de un argumento matemático elegante. Lo mejor que podemos hacer es citar de nuevo a sir Thomas Heath, quien lo ha dicho de una forma simple, directa y exacta. El libro de los Elementos […] es y sin duda permanecerá como el libro de texto de matemáticas más grande de todos los tiempos».
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Euclides (El Teorema de los Poliedros en la última Proposición de Los Elementos de Euclides) - Página 2
