EL MÉTODO DE ARQUÍMEDES DIRIGIDO A ERATÓSTENES

PROPOSICIÓN II: Cubatura y Cuadratura de la Esfera.
Toda esfera es cuádruple del cono cuya base sea igual al círculo máximo de la esfera y cuya altura sea igual al radio de la esfera; a su vez el cilindro cuya base sea igual al círculo máximo de la esfera y cuya altura sea igual al diámetro de la esfera, es igual a vez y media la esfera.

Sea una esfera cuyo círculo máximo sea ABCD, siendo AC y BD dos diámetros perpendiculares. Sea también en la esfera un círculo de diámetro BD, perpendicular al círculo ABCD; y a partir de  ese círculo constrúyase un cono que tenga por vértice el punto A. Prolongada la superficie del cono, córtese éste por un plano que pase por C y sea paralelo a la base, que dará un círculo perpendicular a AC, cuyo diámetro será la recta EZ. Constrúyase después a partir de este círculo un cilindro de eje igual a AC y sean EL y ZH  generatrices del mismo. Prolónguese CA y tómese en su prolongación una recta  AT igual a ella, y considérese CT como una palanca cuyo punto medio sea A. Trácese una paralela cualquiera MN a BD, que corte al círculo  ABCD en Q y O, al diámetro AC en S, a la recta AE en P y a la recta AZ en R. Levántese sobre la recta MN un plano perpendicular a AC, que cortará al cilindro según el círculo de diámetro MN, a la esfera ABCD según el círculo de diámetro QO y al cono AEZ según el círculo de diámetro PR.

De la geometría de la figura, Arquímedes va obteniendo:
AQ² = AC·AS [Euclides III.31], AQ² = QS² + SP² [Euclides I.47].
MS·SP = AC·AS = AQ² = QS² + SP².
AT/AS = MS/SP =MS²/MS·SP = MS²/(QS² + SP²).

Sean ahora c(MN), c(QO), c(PR) los círculos de diámetro MN, QO, PR, respectivamente.

  [Euclides XII.2],
relación geométrica básica para emprender el método mecánico de la palanca: el círculo c(MN) del cilindro, «permaneciendo en su lugar» estará en equilibrio respecto del punto A (fulcro de la palanca) con los círculos c(QO), c(PR) trasladados y colocados sobre el punto T, de tal manera que el centro de gravedad de cada uno de ellos sea T.

Realizando el mismo proceso para todas las paralelas MN a EZ y los círculos que se obtienen sobre la esfera, el cilindro y el cono, resulta que «llenados»con tales círculos el cilindro, la esfera y el cono, el cilindro, «permaneciendo en su lugar», estará en equilibrio, respecto del punto A, con la esfera y el cono juntos, trasladados y colocados sobre la palanca en el punto T, de manera que el centro de gravedad de cada uno de ellos sea T. De aquí aplicando la Ley de la Palanca [Sobre el Equilibrio de los Planos I.6 y I.7] resulta que: «la razón del cilindro a la esfera y el cono juntos, será la misma que la razón de  AT a AK».

Desarrollando simbólicamente los cálculos que Arquímedes describe retóricamente, sean:

e = esfera ABCD; c = cilindro de diámetro EZ y generatrices EL, ZH.
d = cilindro de diámetro BD y generatrices XF, WV.
a = cono cuya sección es el triángulo AEZ  ; b = cono cuya sección es el triángulo ABD.

Aplicando el método mecánico, Arquímedes muestra que c = 2(e+a).
Pero como según Euclides XII.10  se verifica que d=3b y  c = 3a, se tiene: a = 2e.
Ahora de Euclides XII.12 resulta:  a = 8b y de Euclides XII.14  se obtiene: c = 2d.
Combinando los resultados se obtiene finalmente los resultados del enunciado: e = 4b,  d = (3/2)e.

Utilizando el primer resultado obtenido, Arquímedes emprende a continuación el cálculo de la superficie de la esfera. Y lo hace, de forma retórica, con estas palabras:

«Habiéndose visto que toda esfera es cuádruplo  del cono que tiene por base un círculo máximo y cuyo eje es igual al radio de la esfera, se me ocurrió que la superficie de toda esfera es cuádruplo del círculo máximo de la esfera; porque tenía la intuición de que, puesto que todo círculo es equivalente al triángulo cuya base es igual a la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio [Sobre la Medida del Circulo, Proposición 1], toda esfera es equivalente al cono cuya base es la superficie de la esfera y cuya altura es igual al radio».

La feliz intuición de Arquímedes le lleva al resultado correcto. En efecto sean:

S = superficie de una esfera e de radio r.
s = área de un círculo máximo de la esfera e.
C = cono de base S y altura r.
c = cono de base s y altura r.

Del resultado de Arquímedes: e = 4c .

De la sagaz intuición de Arquímedes, obtenida por analogía con la Proposición 1 de Sobre la Medida del Círculo, se tiene: e = C.

Por tanto C = 4c, de donde según Euclides, XII.11, se deduce: S = 4s, es decir, la superficie de una esfera es cuatro veces un círculo máximo.

Arquímedes tiene muy claro que la argumentación mecánica de EL MÉTODO, que tan fructífera había sido para conocer áreas de figuras planas y volúmenes de sólidos, no le servía para determinar áreas de superficies curvas, lo que le lleva a soslayar tal impedimento mediante un razonamiento por analogía, comparando la situación entre el volumen y superficie de la esfera con la situación entre el área y el perímetro de un círculo, cambiando cono por triángulo, es decir, ya que se verifica:

Área del círculo = triángulo de base la circunferencia y altura el círculo.

Análogamente debe verificarse:

Volumen de la esfera = cono de base la superficie de la esfera y altura igual al radio.

Arquímedes da muestras de una intuición genial, pero en este lugar no cabe duda de que ha tenido una idea feliz, porque no siempre la analogía conduce a un resultado correcto. Por ejemplo, un triángulo es igual a la mitad de un paralelogramo de igual base y altura, pero en cambio la pirámide no es equivalente a la mitad del prisma de igual base y altura, sino a su tercera parte.

Observemos que Arquímedes, en EL MÉTODO, encuentra el volumen de una esfera antes que el área de la misma y deduce ésta de aquél. No obstante, como hemos mencionado anteriormente, Arquímedes demuestra el resultado del área de la esfera, en la Proposición 33 del Libro I de su tratado Sobre la Esfera y el Cilindro, es decir, antes y de forma independiente del volumen de la esfera, que lo demuestra en la proposición siguiente. Es por tanto muy interesante observar que en Arquímedes, y así también en otros geómetras griegos, la secuencia de las proposiciones en los grandes tratados clásicos no es la misma que la seguida en el proceso heurístico del descubrimiento.

Al aunar lo heurístico del método mecánico de descubrimiento con lo apodíctico del método de demostración por exhaución, el trabajo de Arquímedes –desarrollado con una asombrosa intuición que produce un vibrante entusiasmo intelectual ante un inusitado despliegue de teoremas geométricos que el sabio había descubierto mediante los procedimientos mecánicos de EL MÉTODO– tuvo una influencia histórica decisiva en los orígenes y la evolución del Cálculo Integral. No es extraño que los matemáticos del siglo XVII –grandes artífices de los primeros rudimentos del Cálculo Integral– pensaran que Arquímedes disponía de un método milagroso secreto como piedra filosofal del descubrimiento geométrico. Tampoco es sorprendente o extraordinario, aunque sí maravilloso, que D'Alembert proclamara (Discurso Preliminar de la Enciclopedia. Orbis, Barcelona, 1984. p.63):

«La imaginación no actúa menos en un geómetra que crea que en un poeta que inventa. [...] De todos los grandes hombres de la antigüedad, es acaso Arquímedes el que más merece figurar al lado de Homero».

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