«Pitágoras investigó los teoremas de un modo inmaterial e intelectual y descubrió la dificultad de los números irracionales y la construcción de las figuras cósmicas [poliedros]».
PROCLO DE LICIA. Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides.

«Hace falta explicar qué propiedades deberían tener los cuerpos más bellos, [...], deben tener la propiedad de dividir en partes iguales y semejantes la superficie de la esfera en que están inscritos».
PLATÓN. Timeo 54b-55a.

«La culminación de Los Elementos de Euclides con la construcción de los poliedros responde al interés especial que mostraban los filósofos griegos por todo lo que atañe a los cuerpos regulares».
F.KLEIN. Matemática elemental desde un punto de vista superior. Vol. II. Geometría. Biblioteca Matemática. Dtor: J.Rey Pastor. Madrid, 1931. p.260.

Estudios de Leonardo da Vinci (1513) sobre la Geometría de los poliedros con especial énfasis en el Cubo y el Icosaedro. Códice Atlántico (f. 518r).

ÍNDICE

1. Introducción
2. Los poliedros en el Neolítico
3. La Cosmogonía poliédrica pitagórica
4. Los Poliedros en El Timeo de Platón
5. El Libro XIII de Los Elementos de Euclides
6. Los Poliedros en el Renacimiento. Della Francesca, Luca Pacioli y  Durero
7. La Cosmología poliédrica de Kepler
8. Los poliedros en los tiempos modernos
9. Los Poliedros en el Arte del siglo XX: Gaudí, Escher y Dalí
10. Epílogo
11. Bibliografía

1. Introducción

La exuberante geometría de los sólidos platónicos, por sus significativos atributos de naturaleza geométrica, estética, simbólica, mística y cósmica, ha fascinado en todas las civilizaciones, desde los pueblos neolíticos hasta nuestros días. Los poliedros son el núcleo de la cosmogonía pitagórica del Timeo de Platón que los asocia con la composición de los elementos naturales básicos, teoría de orden místico-filosófico que tendrá una decisiva influencia en la cosmología poliédrica de Kepler. Euclides recoge la herencia pitagórica y platónica y sitúa a los cinco sólidos regulares en el clímax final de Los Elementos, como glorificación y cenit de un tratado geométrico tan brillante, en lo que se considera el primer teorema de clasificación de la Matemática.

Los poliedros han sido en todas las épocas símbolo y expresión placentera de la belleza ideal, de ahí su presencia en la composición de muchas obras y tratados de artistas y teóricos renacentistas (Piero della Francesca, Pacioli, Leonardo, Durero,...), que diseñan y escriben entre el Arte y la Geometría, tomando como argumento el encanto y la seductora perfección de los sólidos platónicos.

En los tiempos modernos los poliedros han sido un importante nexo que vincula cuestiones de Matemática superior (Topología algebraica, Teoría de Grupos, …) con la resolución de ecuaciones algebraicas y la Cristalografía, pero también, por su belleza y misterio, una fuente inagotable de inspiración que enciende la fantasía de creadores, diseñadores y artistas, entre los que sobresale la espectacularidad de los impresionantes trabajos de aplicación de los poliedros en Gaudí, Escher y Dalí, que como sus antepasados, geómetras y artistas, imputan a su geometría funciones de orden estético, cosmológico, científico, místico y teológico.

2. Los poliedros en el Neolítico

Los poliedros regulares son sólidos limitados por idénticos polígonos regulares, en los que concurren en cada vértice igual número de caras.

El significado simbólico, místico y cósmico de los poliedros regulares se remonta a los primeros estadios de la Civilización. Critchlow (1979) da una prueba fehaciente de que ya eran conocidos por los pueblos neolíticos y por las primeras culturas históricas europeas, como muestran las siguientes ilustraciones:

Sólidos regulares neolíticos de Escocia (Ashmolean Museum de Oxford). Según Critchlow (1979), «lo que tenemos son objetos que indican claramente un grado de dominio de las matemáticas que hasta la fecha todo arqueólogo o historiador de la matemática le había negado al hombre neolítico».

Esfera tetraédrica neolítica (Keith Critchlow: Time Stands Still). Dodecaedro etrusco (500 a.C. Landes-Museum. Mainz, Alemania). Icosaedro romano (Rheinisches Landes-Museum. Bonn).

El origen de estas piezas puede ser de índole estético, místico o religioso, pero también es posible que fueran observadas en la naturaleza en la forma de algunos cristales como los de pirita, o en esqueletos de animales marinos como la radiolaria.

Según Lawlor (1993), Gordon Plummer en su obra The Mathematics of the Cosmic Mind, afirma que la mística hindú asocia el icosaedro con el Purusha, la semilla-imagen de Brahma, el creador supremo, la imagen del hombre cósmico, equivalente al antropocosmos de la tradición esotérica occidental, mientras que el dodecaedro es asociado con Prakiti, el poder femenino de la creación, la Madre Universal, la quintaesencia del universo natural. En la mitología hindú, Purusha y Prakiti son la eterna dicotomía creadora, representación mística de la dualidad geométrica entre el icosaedro y el dodecaedro. Diversos historiadores de las Matemáticas (Eves, 1983; Kline, 1992) admiten que las antiguas civilizaciones egipcias y babilónicas tenían conocimiento del cubo, tetraedro y octaedro y que este saber se trasmitiría a Grecia a través de los viajes de Tales y Pitágoras.

3. La Cosmogonía poliédrica pitagórica

Proclo en sus Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides atribuye a Pitágoras la construcción de «las figuras cósmicas» (Tannery, 1887), nombre relacionado con su aplicación en la cosmogonía pitagórica que asocia los cuatro elementos primarios: fuego, tierra, aire y agua, con los cuatro sólidos: tetraedro, cubo, octaedro e icosaedro, mientras el dodecaedro sería el símbolo general del universo (González Urbaneja, 2001). Aecio (basándose en Teofrastro) escribe literalmente: «Por ser cinco las figuras sólidas, denominadas sólidos matemáticos, Pitágoras dice que la tierra está hecha del cubo, el fuego de la pirámide [tetraedro], el aire del octaedro y el agua del icosaedro, y del dodecaedro está compuesta la esfera del todo» (Guthrie, 1984). También Filolao y en parte Simplicio aseguran lo mismo.

Los pitagóricos estaban fascinados por los sólidos regulares, sobre todo por el dodecaedro (debido a la presencia del emblemático pentágono en sus caras) que lo relacionaban de forma mística con el Cosmos y guardaban celosamente el secreto de su construcción, hasta el punto de fraguar la leyenda sobre el terrible fin de quien osó divulgar sus misterios, relatada entre otros autores por Jámblico (1991): «De Hipasos cuentan que fue uno de los pitagóricos que por haber divulgado por escrito por primera vez la esfera de doce pentágonos [la construcción del dodecaedro inscrito en una esfera] pereció en el mar por impío». Este  texto recuerda la descripción apocalíptica de muchos escritores, entre ellos Colerus (1972) acerca de la maldición que cayó sobre Hipasos de Metaponto por haber revelado la aparición de lo irracional. La analogía entre ambas leyendas avalaría la tesis de que el advenimiento de la inconmensurabilidad habría tenido lugar a través del pentágono de las caras del dodecaedro, generador al trazar las diagonales de la estrella pentagonal, llamada Pentagrama místico, que era el símbolo de identificación de los miembros de la secta pitagórica (González Urbaneja, 2000, 2001).

4. Los Poliedros en El Timeo de Platón

Aunque lo aseguren las fuentes mencionadas, la crítica histórica considera improbable que Pitágoras hubiera planteado la cosmogonía descrita (Heat, 1956, 1981), ya que, por una parte, fue Empédocles de Agrigento el primero que distinguió explícitamente los cuatro elementos primarios (fuego, tierra, aire y agua), y por otra, según parece, los primeros pitagóricos habrían reconocido sólo el  tetraedro, el cubo y el dodecaedro, atribuyéndose el octaedro y el icosaedro a Teeteto (Heat, 1981), brillante matemático de La Academia (realizó importantes aportaciones sobre los irracionales) y amigo de Platón, que le honró dando nombre a uno de sus Diálogos, Teeteto (Sobre la Ciencia).

Fragmento de La Escuela de Atenas de la Estancia de la Signatura del Vaticano, que representa a Platón con El Timeo, Diálogo donde expone su visión cosmológica.

Los poliedros regulares se llaman, a veces, «Cuerpos Platónicos» por el papel prominente que juegan en el famoso Dialogo de Platón sobre la Naturaleza, Timeo (Platón, 1969; 53a/54b/55d), que es, sin duda, el más profundamente pitagórico de su obra. En él expone, de forma mística (Vera, 1970), la asociación que presuntamente habría hecho Pitágoras entre el tetraedro, el cubo, el octaedro y el icosaedro y los cuatro elementos naturales primarios, que Empédocles había vinculado con la constitución de toda la materia; mientras que la veneración pitagórica por el dodecaedro conduce a Platón, fascinado por todo lo pitagórico, a considerar a este sólido como la quintaesencia, el quinto elemento,la sustancia de los cuerpos celestiales, el símbolo místico del Cosmos.

En El Timeo la belleza es un elemento esencial de los poliedros: «Hace falta explicar qué propiedades deberían tener los cuerpos más bellos,...» (Timeo 54b). Pero para Platón, con su inveterado idealismo, la belleza de los sólidos regulares no reside realmente en su apariencia física, sino que permanece oculta en el ámbito ideal del pensamiento matemático. Tal belleza anida en que puede demostrar mediante un razonamiento apriorístico (independiente de la investigación empírica) que existen cinco y sólo cinco representaciones de la idea de poliedro regular. La belleza de los poliedros regulares se basa en su significación filosófica. La interacción entre el concepto general de regularidad y su realización en exactamente cinco sólidos sólo puede aprehenderse a través de la Matemática. La participación de objetos especiales en una idea general subyace en la matriz de la filosofía platónica. De los ejemplos pitagóricos (tetraedro, cubo y dodecaedro), Platón asciende (con el concurso de Teeteto) al concepto general de poliedro y regresa a lo particular, añadiendo el octaedro y el icosaedro, completando así la lista. Se trata de un prototipo matemático del procedimiento dialéctico establecido en La República (51b) y un magnífico ejemplo de la concepción platónica de la forma y la participación: «cada uno de los cinco sólidos participa en la idea de sólido regular, e inversamente, esta idea se plasma exactamente en cinco casos particulares».

Platón construye, con base en Pitágoras y con el auxilio de Teeteto, una de las primeras teorías matemáticas completas: una definición general junto con una completa clasificación de los objetos que la satisfacen. La definición es: un sólido es regular si «tiene la propiedad de dividir en partes iguales y semejantes la superficie de la esfera en que está inscrito» (Timeo 55a). A continuación Platón estudia la generación y composición de los poliedros mediante elementos geométricos que son triángulos rectángulos con la hipotenusa doble de un cateto para el caso del tetraedro, octaedro e icosaedro y triángulos rectángulos isósceles para el caso del cubo (Fowler1999). El dodecaedro es mencionado sólo al final del pasaje con una críptica sentencia de corte pitagórico: «Quedaba aún una sola y única combinación; el Dios se sirvió de ella para el Todo cuando esbozó su disposición final» (Timeo 55c). Enseguida Platón argumenta la identificación de cada poliedro (de acuerdo con sus cualidades) con cada uno de los elementos primarios para concluir (Timeo 55d):

«A la tierra le atribuimos la figura cúbica, porque la tierra es el [elemento] más difícil de mover, el más tenaz, el de las bases más sólidas, ..., la figura sólida de la pirámide [tetraedro] es el elemento y el germen del fuego; la segunda en orden de nacimiento [octaedro] es el elemento del aire, y la tercera [icosaedro], el del agua».

Página  del Timeo de Platón, traducido al latín, en el siglo V, por el helenista hispanorromano Calcidius. Manuscrito de la ColecciónVaticana (Reg. lat. 1308 fols. 21 verso-22 recto medbio01 NAN.10).

Para Platón (bajo una aureola de Filosofía pitagórica), el hacedor del universo creó el orden a partir del caos primigenio de los elementos por medio de las formas y los números esenciales de los poliedros, en una acción que culmina ese ordenamiento en la disposición armónica de los cinco elementos en el universo físico (Timeo 57b):

«Y por lo que respecta a las relaciones numéricas que se hallan en su número, en sus movimientos y en sus demás propiedades, hay que considerar siempre que el Dios [...] las ha realizado en todo de manera exacta, y así ha armonizado matemáticamente los elementos».

He aquí una bella analogía que concede a los cinco poliedros regulares el poder de dar forma al mundo material. Para Lawlor (1993) subyace en Platón una Geometría Sagrada que actúa como metáfora del orden universal.

El Timeo es un Diálogo de raíz pitagórica donde Platón expone su cosmogonía. Platón describe con abundancia de detalles cuáles son las formas fundamentales inteligibles que imponiéndose a una materia primitivamente informe, han presidido la concepción y realización del orden cósmico, en la génesis de todo cuanto nos rodea en la naturaleza, bajo la acción demiúrgica del Dios geómetra soberano, que dispuso los cuatro elementos en la forma y número que exige la necesaria y bella armonía matemática (53c-53d).

Según Platón (Timeo, 54a-55c), cuatro de los poliedros regulares –tetraedro, octaedro, icosaedro y cubo– que son las formas geométricas más bellas, son, respectivamente, los átomos de los elementos –fuego, aire, agua y tierra–. Pero los elementos primigenios originales constituyentes del mundo material no son propiamente estos poliedros, sino sus componentes geométricos, formados por dos clases de triángulos rectángulos –los triángulos más bellos–; uno es medio cuadrado, es decir, isósceles, que compone el cuadrado cara del cubo y otro es medio triángulo equilátero, y por tanto escaleno, que compone las caras triangulares equiláteras de los otros tres poliedros.

5. El Libro XIII de Los Elementos de Euclides

Según Boyer (1986), los comentaristas griegos atribuyen el contenido del Libro XIII de Los Elementos de Euclides (dedicado casi exclusivamente a las propiedades de los cinco sólidos regulares) a Teeteto.

Puesto que Euclides se formó en el ambiente platónico de La Academia de Atenas, debió sufrir la fascinación y el delirio de sus miembros por los cinco poliedros regulares, para incluirlos como clímax final, como glorificación y cenit de un tratado tan brillante como Los Elementos (González Urbaneja, 2000). De hecho Proclo, en su Comentario señala:

«Euclides era platónico,..., mejoró los trabajos de Teeteto,..., se propuso como objetivo final del conjunto de sus Elementos la construcción de los cinco poliedros regulares».

Esta opinión, basada en que Proclo como filósofo profesaba ciegamente como platónico, es manifiestamente exagerada, ya que la mayor parte de Los Elementos –los doce primeros libros, salvo algunas definiciones del Libro XI– no está relacionada, en modo alguno, con los sólidos platónicos.

El tratamiento euclídeo de los poliedros regulares es especialmente importante para la Historia de la Matemática porque contiene el primer ejemplo de un teorema fundamental de clasificación. En Euclides no se encuentra –como en Platón– una definición genérica de poliedro regular (Euclides, 1986; Heath, 1956) sino que los introduce uno por uno en las definiciones XI.12 (tetraedro), XI.25 (cubo), XI.26 (octaedro), XI.27 (icosaedro), XI.28 (dodecaedro).

Página inicial de la primera impresión de Los Elementos de Euclides que tiene lugar en Venecia en 1482 y se debe al impresor E.Ratdolt. Pertenece a un incunable de la Biblioteca Nacional de España. Esta edición se hizo a partir de una versión arábigo-latina que a su vez era una reelaboración de la traducción latina de Adelardo de Bath de 1142, comentada por Campano de Novara, a mediados del siglo XIII. Seguramente este texto contiene la primera impresión de figuras geométricas en un libro de contenido matemático. Para ello dispone de un margen de 8 cm. Ratdolt asegura haber desarrollado una tecnología que le permitía imprimir cualquier figura con la misma facilidad que el texto.

La construcción pitagórica de los poliedros regulares pudo ser una generalización evidente al espacio de los mosaicos del plano ya que a juzgar por un testimonio de Proclo, los pitagóricos descubrieron que los únicos polígonos regulares que podían recubrir un plano (a modo de mosaico) son el triángulo, el cuadrado y el hexágono, según el gráfico siguiente:

En efecto: si m polígonos regulares de n lados coinciden en un punto, ya que los ángulos interiores de un polígono de n lados suman [(n-2)180º] (resultado atribuido a Pitágoras) se verifica: =360º, de donde resulta la ecuación: m(n-2)=2n, cuyas únicas soluciones enteras son: m=6, n=3 (triángulos), m=4, n=4 (cuadrados), m=3, n=6 (hexágonos).

Este estudio aplicado a los mosaicos puede aplicarse a los poliedros con la necesaria modificación de que la concurrencia de m polígonos regulares de n lados en un vértice da un ángulo sólido, de modo que la suma de los ángulos de los polígonos concurrentes no debe ser mayor de 360º, es decir: <360º (Euclides XI.21).

El objeto de los Teoremas del Libro XIII de Euclides es el de inscribir cada uno de los poliedros regulares en una esfera, construcciones que Euclides, con una extraordinaria habilidad geométrica, va obteniendo sucesivamente en las Proposiciones XIII.13 – XIII.17, hallando la razón de la arista del sólido al radio R de la esfera circunscrita, obteniendo los resultados que se sintetizan en la tabla adjunta.

El libro XIII de Los Elementos y con él toda la obra de Euclides alcanza su colofón final en la última proposición, la XIII.18:

«Construir los cinco poliedros regulares inscritos en la misma esfera y comparar las aristas de las cinco figuras»:

Euclides traza la figura siguiente, tomando:

AB diámetro de la esfera
AC = CB, AD = 2DB,
AH = AB, CL = KC.

Y demuestra, paso a paso, utilizando numerosas proposiciones anteriores (en particular las de la sección áurea) que:

Siendo la relación entre ellas:

• t² = (4/3) o² = 2c².
• o² = (3/2) c².
• La arista i del icosaedro es mayor que  la arista d del dodecaedro.

La última proposición de Euclides acaba, a su vez, con el teorema de clasificación de los poliedros:

«Ninguna otra figura, además de estas cinco, se puede construir con polígonos equiláteros y equiángulos».

La demostración es similar a la de los mosaicos pitagóricos, pero ahora hay que resolver una inecuación en números enteros: la que resulta de la Proposición XI.21: <360º,  si la concurrencia en un vértice es de m polígonos regulares de n lados.

Esta inecuación es equivalente a (m–2)·(n–2)<4 que da como soluciones geométricas:
para m=3 , para m=4, n=3 (octaedro), para m=5, n=3  (icosaedro).

6. Los Poliedros en el Renacimiento. Della Francesca, Luca Pacioli y Durero

Los llamados artistas matemáticos del Renacimiento manifestaron gran interés por los poliedros, propiciado, por una parte, por los estudios platónicos sugeridos por la  reaparición de ciertos manuscritos con las obras de Platón, y por otra, debido a que estos sólidos servían como excelentes modelos en los estudios sobre Perspectiva (Pedoe, 1979).

El estudio más completo fue realizado hacia 1480 por Piero della Francesca en su obra Libellus De Quinque Corporibus Regularibus. Aparte de los tópicos euclídeos sobre poliedros, en esta obra se redescubren gradualmente los llamados sólidos arquimedianos o poliedros semirregulares. Son trece cuerpos igualmente inscriptibles en una esfera con caras polígonos regulares de dos o tres tipos, siendo iguales los polígonos que resultan de unir puntos medios de aristas que concurren en un vértice. Pappus de Alejandría (1982), que atribuye su invención a Arquímedes, da una descripción de estos sólidos en el apartado V.19 de su obra La Colección Matemática e indica, además, para cada sólido, el número de caras, aristas y vértices.

Piero della Francesca fue un experto en relacionar los diversos poliedros; obtuvo unos a partir de otros y los inscribió sucesivamente. De esta forma, además del posible número de polígonos regulares en el plano (infinitos) y de poliedros regulares en el espacio (sólo cinco) aparece otra distinción significativa entre ambos tipos de entes: mientras que en el plano, el triángulo, el cuadrado y el pentágono, por ejemplo, son geométrica y algebraicamente independientes unos de otros, los cinco poliedros regulares guardan entre sí íntimas relaciones estructurales. De ellas la más elemental es la llamada dualidad o reciprocidad poliédrica según la cual «el sólido cuyos vértices son los centros de las caras de uno platónico también es platónico» y también «el sólido determinado por los planos tangentes en los vértices a la esfera circunscrita a un sólido platónico también es platónico». Un poliedro y su dual tienen el mismo número de lados y el número de caras de uno es igual al número de vértices del otro.

Los cinco poliedros regulares se clasifican por dualidad en tres grupos: tetraedro que es dual de sí mismo, cubo-octaedro (el dual del cubo es el octaedro y viceversa) e icosaedro-dodecaedro (el dual del icosaedro es el dodecaedro y viceversa) según muestran las siguientes figuras:

Piero della Francesca va mucho más allá al realizar un estudio muy completo de formas de pasar directa o indirectamente de unos sólidos platónicos a otros, vinculando de múltiples maneras los diversos poliedros, algunas de las cuales son estudiadas por Ghyca (1983) y por Lawlor (1993). También en Guillén (1997) se puede encontrar un estudio bastante exhaustivo de la interrelación de sólidos platónicos, a base de buscar de forma sistemática las posibles inscripciones entre poliedros regulares dispuestos de tal forma que las simetrías comunes coincidan (por ejemplo, como el cubo y el octaedro tiene las mismas simetrías, se podrán inscribir en los mismos poliedros, y también podrán inscribirse en ellos los mismos poliedros). En particular, al considerar los pares de poliedros (de un tamaño adecuado) que tienen exactamente las mismas simetrías, resultan parejas de sólidos en los que los vértices del poliedro inscrito yacen en los centros de las caras del otro poliedro, que son los pares de poliedros que hemos llamado duales.

Grabado de La Divina Proporción de Luca Pacioli, copia de una ilustraciónde Libellus De Quinque Corporibus Regularibus de Piero della Francesca (Manuscrito Urb. lat. 632 fols. 40 verso de laBiblioteca Vaticana, 1480) La imagen representa una original inscripción  de un icosaedro en un cubo, de forma que los vértices del icosaedro están situados sobre las caras del cubo.

Luca Pacioli inspirándose en las fuentes platónicas y euclídeas (y en primera instancia pitagóricas), en la obra de Vitrubio, en las conversaciones con Leonardo da Vinci y en los trabajos de Piero della Francesca, realiza la construcción y hace un estudio exhaustivo de los poliedros regulares y semirregulares  en su obra La Divina Proporción (Capítulos XXIV-LIV) donde abundan las referencias esotéricas y místicas (Luca Pacioli, 1946, 1992).

Diseños de Leonardo da Vinci del icosaedro y del dodecaedro que aparecen en la obra de Luca Pacioli La Divina Proporción (Venecia, 1509).

El famoso cuadro realizado por J. de Barbari en 1495 (Museo de Capidemonte, Nápoles) que representa a Luca Pacioli rodeado de elementos geométricos alusivos a una página de Euclides, en relación con los poliedros, a cuyo estudio está dedicada gran parte de su famosa obra La Divina Proporción. En la pintura aparece el dodecaedro como símbolo de unión mística entre maestro y discípulo (que representa a Guidobaldo, Duque de Urbino, aunque algún osado ha querido ver a un joven Durero), así como uno de los poliedros arquimedianos llamado por Kepler RomboCuboOctaedro, posiblemente redescubierto por Pacioli.

Pacioli estudia la proporción mutua de todas las superficies poliédricas regulares y la inclusión progresiva de cada uno de los poliedros en el siguiente, hasta el punto de que el dodecaedro los contiene a todos. La influencia pitagórico-platónica le infunde la veneración hacia el dodecaedro, al que llama nobilísimo cuerpo regular, de forma que interpretando El Timeo platónico, escribe (La Divina Proporción, Cap. LV):

«La forma de doce bases pentagonales la atribuyó [Platón] al cielo como aquello que es receptáculo de todas las cosas, del mismo modo que el dodecaedro es receptáculo y albergue de todos los cuerpos regulares, como se puede comprobar por la inscripción de un cuerpo en otro».

Los trabajos de Piero della Francesca y Luca Pacioli sobre poliedros tuvieron una gran incidencia en la posterior Literatura matemática vinculada al Arte, sobre todo la desarrollada por Durero en su obra de 1525 Underweysung der messung, recien editado por vez primera en castellano (Durero, 2000), con el nombre de De la Medida. Se trata de una especie de enciclopedia  geométrica para uso de pintores, redactada por un gran maestro artista-geómetra formado en el cruce de las tradiciones prácticas, artesanas, sabias, artísticas y humanistas, que pretendía  dotar a la creación artística de una base científico-geométrica.

Buena parte del Libro IV de la obra de Durero está dedicada a los poliedros regulares y semiregulares. Para Durero los poliedros regulares son sólidos «que son iguales en todo, caras, ángulos y lados, a los que Euclides llama “corpora regularia”. Él describe cinco, pues no pueden ser otros que los que se inscriben en su totalidad tangentes a una esfera». A continuación, Durero describe, uno por uno, los cinco poliedros regulares, indica el número de caras, aristas y vértices, y representa cada uno de los cuerpos por su desarrollo en un plano y por dos proyecciones ortogonales sobre los planos horizontal y vertical, lo que, en alguna medida, es un antecedente de la Geometría Descriptiva de Monge.

El desarrollo de Durero permite reconstruir el objeto poliédrico en tres dimensiones: se recorta en papel la red formada por las caras y se pliega a lo largo de las aristas de las caras contiguas. Es el mismo procedimiento utilizado en la escuela para construir los poliedros regulares.  El Libro IV del Underweysung de Durero prosigue con el estudio de los poliedros arquimedianos (siete en la edición de 1527 y nueve en la póstuma de 1538). Durero presenta unos sólidos «que son tangentes con todos sus vértices a una esfera hueca, aunque tienen caras desiguales», en una forma diferente a la de P. della Francesca y a la de Luca Pacioli. Mientras della Francesca sólo trunca cada uno de los poliedros regulares, Pacioli obtiene de cada sólido platónico el  cuerpo truncado y el sobrealzado (no necesariamente arquimediano) que se obtiene al añadir una pirámide a cada una de las caras, y después representa en perspectiva (Pacioli, 1992) los diversos cuerpos, primero macizos y luego vaciados, sobre figuras bellamente diseñadas por Leonardo. Durero se conforma con dar los desarrollos planos de los sólidos, después de describir sus elementos geométricos (caras, aristas y vértices). Lo que interesa a Durero es su sencilla construcción inspirado en los modelos de diversas colecciones de poliedros construidas por Pacioli, que circularon por Italia coincidiendo con la estancia de Durero en esa tierra.

Durero acaba el estudio de los poliedros con el siguiente texto (Durero, Akal, 2000, p.304)

«Si a los cuerpos que se acaban de hacer se les quitan sus vértices con unos cortes limpios y posteriormente se vuelven a quitar los vértices restantes, se pueden realizar diversos tipos de cuerpos».

En relación con estas palabras, Durero pudo ser fascinado, además, por una idea que desarrolla Pacioli en el Capítulo LV de La Divina Proporción (Pacioli, Akal, p.102):

«No me parece conveniente [...] extenderme más sobre dichos cuerpos [poliedros] pues su desarrollo tiende hacia el infinito por el continuo y sucesivo corte de su ángulos sólidos, según el cual se multiplican sus diversas formas».

Durero. Cabeza de hombre (Cuaderno de Dresden). M.Ghyca titula de forma anacrónica a esta lámina «estudio cubista» (Estética de las proporciones en la Naturaleza y en las Artes.  Poseidón. Barcelona, 1983, p.189), como admitiendo la influencia estética de las concepciones poliédricas de Durero sobre el Cubismo.

Si se truncan los ángulos de un poliedro y se sustituyen por facetas, se obtienen cuerpos de complejidad creciente que pueden proporcionar una aproximación a los cuerpos delimitados por superficies curvas cualesquiera como las que conforman el cuerpo humano. El Neoplatonismo renacentista vigente, bajo el impulso de Marsilio Ficino, abonaría la idea de origen platónico, según la cual no sólo los entes materiales, sino también toda criatura, por designio divino, estarían compuestos por combinaciones poliédricas. A partir de esta idea se puede comprender el gran interés que los artistas y teóricos renacentistas prestaron al estudio de los poliedros.

De hecho, Durero intentará, una y otra vez, representar el cuerpo humano y sus posiciones en movimiento, encerrando sus miembros en cuerpos regulares o derivados de ellos; por eso estudia la manera de ponerlos en perspectiva y de construir su sombra. A ello se aplica al final del Underweysung, donde enseña cómo construir el dibujo en perspectiva de un cubo con su sombra, iluminado y situado sobre un plano horizontal.

Además, en diversos manuscritos de Durero se han encontrado tentativas de representación en perspectiva de los poliedros, lo que tendrá gran influencia en el desarrollo ulterior de la Perspectiva en el  Arte del Renacimiento.

A partir del Renacimiento abunda la Literatura poliédrica  y buena muestra de ello son las ilustraciones siguientes donde aparece el simbolismo poliédrico sobre todo con modelos similares a los de Leonardo:

7. La Cosmología poliédrica de Kepler

Kepler fue de tal modo seducido por la cosmogonía pitagórico-platónica que elaboró una Cosmología basada en los cinco sólidos regulares, en la creencia de que estos serían la clave utilizada por el creador para la construcción de la estructura del Universo. En la época de Kepler sólo se conocían seis planetas, Mercurio, Venus, la Tierra, Marte. Júpiter y Saturno. Mientras que hay infinitos polígonos regulares sólo existen cinco poliedros regulares. No podía ser una casualidad, la mano del Dios geómetra no improvisa. Según Koestler (1985), Kepler pensó que los dos números estaban vinculados: «hay sólo seis planetas porque hay sólo cinco poliedros regulares» y da una visión del sistema solar que consiste en sólidos platónicos inscritos, encajados o anidados unos dentro de otros, relacionando los radios de las esferas concéntricas circunscritas que intervienen con las órbitas de los planetas. Al creer que había reconocido el esqueleto invisible del Universo en esas estructuras perfectas que sostenían las esferas de los seis planetas, llamó a su revelación El Misterio Cósmico. Dentro de la órbita o esfera de Saturno Kepler inscribió un cubo; y dentro de éste la esfera de Júpiter circunscrita a un tetraedro. Inscrita en éste situó a la esfera de Marte. Entre las esferas de Marte y la Tierra estaba el dodecaedro; entre la Tierra y Venus el icosaedro; entre Venus y Mercurio el octaedro. Y en el centro de todo el sistema el Astro Rey, el Sol. La Geometría pitagórica tamizada por el idealismo místico y filosófico de Platón y por la estructuración euclídea,  permitió a Kepler vislumbrar una imagen de la perfección esplendente del Cosmos trasunto de la excelsitud del Creador a través de la Sagrada Geometría (Lawlor, 1993). Las minuciosas mediciones astronómicas de su amigo Tycho Brahe hicieron evolucionar el pensamiento de Kepler, tras gigantescos esfuerzos intelectuales, hacia el descubrimiento de sus famosas leyes planetarias, pero esto es otra historia.

Modelo cosmológico de Kepler basado en los sólidos platónicos e inspirado en los modelos de Leonardo. En el detalle aparecen las esferas de Marte, la Tierra, Venus y Mercurio con el Sol en el centro. Grabado de la obra de Kepler Mysterium Cosmographicum (1596). Biblioteca Universitaria de Basilea.

Kepler había quedado tan impresionado por las asociaciones que hace Platón en El Timeo de los sólidos regulares con los elementos naturales primarios de Empédocles, que intentó dar una ingeniosa explicación de las mismas, justificativa de la Cosmogonía pitagórico-platónica (Sagan, 1982). Kepler asume intuitivamente que el tetraedro encierra el menor volumen para su superficie, mientras el icosaedro encierra el mayor. Siendo las relaciones superficie-volumen cualidades de sequedad y humedad, y ya que el fuego es el más seco de los cuatro elementos y el agua el más húmedo, el tetraedro debe representar el fuego y el icosaedro el agua. El cubo, al ser el poliedro de mayor estabilidad, es asociado con la tierra. El octaedro como cogido por sus dos vértices opuestos con los dedos pulgar e índice puede hacérsele girar fácilmente, tiene la inestabilidad del aire. Finalmente el dodecaedro es asociado con el universo porque tiene doce caras como doce son los signos del zodiaco.

Imágenes poliédricas de la obra de Kepler Harmonice Mundi (1619): Representación poliédrica visual de la Cosmogonía pitagórico-platónica. Poliedros estrellados de Kepler.

Kepler introdujo los llamados poliedros estrellados de gran importancia en la actualidad tanto en la Ciencia como en el Arte. Hacia 1970 el ruso Arnold empezó a buscar principios de clasificación de estos poliedros y otros científicos han especulado con la posibilidad de aplicar estos entes geométricos a la clasificación de las partículas elementales de la Física. Si Kepler aplicó la mística de los Sólidos Platónicos para entender el Macrocosmos ¿no se estará intentando aplicar una nueva mística, la de los Poliedros de Kepler, a la comprensión del Microcosmos atómico?

Sello de Kepler con su sistema planetario poliédrico. Hungría, 1980.

8. Los poliedros en los tiempos modernos

La famosa Fórmula de Euler que relaciona caras, vértices y aristas de un sólido platónico: «en todo poliedro convexo, el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras es igual a dos» (V – A + C = 2), es posible que fuera conocida por Teeteto y por Arquímedes, pero es Descartes quien primero la establece hacia 1635, aunque este hecho no fue conocido hasta 1860 con la publicación de sus Oeuvres inédites por P.Tannery. Euler la obtuvo de nuevo de forma independiente en 1752, dando una sencilla prueba inductiva. Hoy se estudia como un invariante topológico y es uno de los tópicos más representativos de la moderna Topología Algebraica, en relación con la Característica de Euler-Poincaré de una superficie.

A partir de la Fórmula de Euler se puede demostrar por procedimientos muy elementales (Courant, 1971, Sagan, 1982) la proposición que culmina con broche de oro la composición de Euclides: la existencia de justamente cinco poliedros regulares distintos.

Cada poliedro se caracteriza por el símbolo (p,q) que significa que concurren en cada vértice q caras p-gonales. En el caso de un poliedro regular, además de la Fórmula de Euler se verifican las siguientes sencillas relaciones numéricas (Coxeter, 1989):

q·V = 2·A = p·C,

de donde se obtienen fórmulas que permiten expresar V, A  y C como funciones de p y q.
En efecto:

De donde se obtiene:

Ya que estos números deben ser positivos y así son los numeradores, también deben ser positivos los denominadores, de modo que los posibles valores de p y q están restringidos por la desigualdad: 2p+2q–pq > 0 o la equivalente (p–2)·(q–2) < 4, de modo que los únicos productos posibles pueden ser:

1·1  o  2·1  o  1·2  o  3·1  o  1·3.

Estas cinco posibilidades nos dan una prueba elemental del aludido Teorema de Euclides: la existencia de justamente cinco sólidos platónicos que corresponden a los tipos:

(3,3), (4,3), (3,4), (5,3), (3,5).

A finales del siglo XIX el estudio de los poliedros recibió nuevo impulso con la aplicación de la Teoría de Grupos en Matemáticas y Cristalografía, sobre todo por parte de F.Klein, que en su obra El Icosaedro y la Solución de las Ecuaciones de Quinto Grado, estudia los grupos de simetrías de los poliedros regulares obteniendo (Artmann, 1996):

• El Grupo Tetraédrico que es isomorfo con el grupo alternado A₄ de las permutaciones pares de cuatro elementos.
• El Grupo Octaédrico (que es el mismo que el grupo del cubo), isomorfo con el grupo simétrico S₄ de las permutaciones de cuatro elementos.
• El Grupo Icosaédrico (que es el mismo que el Grupo Dodecaédrico), isomorfo con el grupo alternado A₅ de las permutaciones pares de cinco elementos.

9. Los Poliedros en el Arte del siglo XX: Gaudí, Escher y Dalí

Las formas poliédricas en el Arte de Gaudí

Gaudí desarrolló una capacidad casi milagrosa de utilizar todas las formas geométricas y no sólo como nueva morfología estética sino como componente estructural desde la perspectiva gravitatoria de las cargas, es decir, la estética al servicio de la estática. Se definía así mismo como geómetra («yo soy geómetra que quiere decir hombre de síntesis») y al considerar la naturaleza como fuente de inspiración de muchas de sus formas geométricas, Gaudí escribía: «en la naturaleza está el principio y el fin de todas las formas». No es extraño, pues, que las formas poliédricas fueran un tópico habitual para el genio.
Gaudí utilizó luces en forma de dodecaedro tanto en la cripta de la Sagrada Familia como en la catedral de Palma de Mallorca y es curioso saber que colgaban del techo de su obrador algunos poliedros.

En los pináculos de los campanarios la Sagrada Familia, tanto en la fachada del Nacimiento como en la de la Pasión, aparecen complejas formas resultantes de la intersección de diversos poliedros (sobre todo cubos y octaedros) con esferas provistas de vaciados cilíndricos funcionales que crean espacios donde situar la original iluminación. En los cuatro pináculos de los campanarios de la fachada de la Gloria están presentes dodecaedros regulares.

Según Alsina (2002):«Si en las proporciones de la Sagrada Familia, Gaudí optó por las relaciones 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1, asociadas a los divisores de 12 y hay doce campanarios con pináculos, no es de extrañar que los tres poliedros regulares que intervienen sean el cubo y el octaedro de 12 aristas y el dodecaedro de doce caras».

Las torres de la Sagrada Familia, por su despliegue geométrico poliédrico, donde abunda la maclación (intersección)de cuerpos geométricos, fue el anagrama del Año Mundial (2000) de las Matemáticas en Cataluña. Figuras 3, 4 y 5 de la ilustración: Poliedro pseudoregular obtenido por truncamiento de los vértices de un octaedro o de un cubo y una esfera interior, secante en todas sus caras, Formación del poliedro por truncamiento de vértices del octaedro regular. Formación  del poliedro por truncamiento de vértices del cubo.

C.Alsina. Gaudí. La búsqueda de la forma. Lunwerg. Barcelona, 2002, (p.118): Pináculo de San Bernabé. Proceso de maclación sucesiva de un cubo, un octaedro y un cilindro para la formación del poliedro pseudoregular con casquetes esféricos que sobresalen en algunas caras o vaciados cilíndricos funcionales donde situar la original iluminación.

El mágico universo poliédrico de Escher

Como en otros muchos artistas, la Geometría ha servido a Escher uno de los argumentos más importantes en sus especulaciones artísticas, hasta el punto de que llega a escribir que él mismo no está seguro de si está haciendo Arte o Matemáticas.

Escher estaba fascinado por la misteriosa regularidad de las formas minerales con las que debía tener frecuente contacto al tener un hermano que era geólogo de profesión: «hay algo de estremecedor en las leyes que gobiernan las formaciones cristalinas». De ahí nace su interés por los poliedros, cuyas formas utilizará con asiduidad en los múltiples modelos de diversos materiales y en numerosos grabados donde los dibuja en diversas posiciones. Con el fin de tenerlos siempre presentes, Escher construyó con hilo y alambre un modelo de los cinco cuerpos platónicos, inscritos unos en otros, que le acompañaba siempre.

Los poliedros son el tema principal en las siguientes dibujos de Escher: Cristal (1947), Estrellas (1948), Planetoide doble (1949), Orden y caos (1950), Gravitación (1952), Planetoide tetraédrico (1954). Como tema secundario también aparecen en numerosos grabados, entre ellos Reptiles (1943) y Cascada (1961).

Entre las piezas de arte más interesantes de Escher está el Poliedro con flores (1958) que consiste en cinco tetraedros que al compenetrarse mutuamente dan lugar a una especie de dodecaedro romboidal en forma de estrella. Otra curiosa pieza es la Galletera (1963) en forma de icosaedro adornado con conchas y estrellas de mar.

Entre los mundos fantásticos que Escher diseña sobresale un extravagante edificio submarino, plamado en la litografia Platelmintos (1959), con la que demuestra que es posible rellenar sin hueco alguno una superficie, alternado la presencia de tetraedros y octaedros. Para una comprobación de este hecho mediante ensamblados de desarrollos planos de ambos poliedros, véase Ernst (1994).

El misticismo poliédrico en la creatividad de Dalí

Para Dalí, como para otros muchos artistas, la Geometría proporciona importantes argumentos en las reflexiones teóricas previas a la obra de arte.  En particular la Divina Proporción y los poliedros regulares, además de las implicaciones estéticas acreditadas por su presencia en algunos de sus cuadros, asumen una función de orden cosmológico, científico, teológico y simbólico. En la aplicación constante de la Matemática a su pintura, Dalí sintetiza siglos de tradición simbólica pitagórica (González Urbaneja, 2001).

Dalí se había interesado en los años 30 del pasado siglo por las investigaciones de M. Ghyka acerca de la sección áurea, la geometría y la numerología pitagóricas, lo que deja una huella en su arte que adquiere una estrecha relación entre Ciencia y Religión (Weyers, 2000).

Como reminiscencia platónica la mitología en torno al dodecaedro le ha servido a Dalí para evocar y asumir una fuerte carga simbólica en algunas de sus composiciones.

Dalí. El Sacramento de la Eucaristía en la Última Cena. 1955. Colección Chester Dale. Galería Nacional de Arte. Washington. La Última Cena tiene lugar bajo la quintaesencia del Dodecaedro cósmico, el símbolo pitagórico-platónico del universo. Dalí. A la búsqueda de la cuarta dimensión. Óleo sobre tela. Colección particular 1979. La pareja de espaldas recuerda a Platón y Aristóteles en La Escuela de Atenas, de Rafael. Dalí. Corpus hypercubus. 1954. Metropolitan Museum of Art, Nueva York. Representación de la Crucifixión de Cristo en una cruz que geométricamente es una yustaposición de ocho cubos (Baig, 1990), desarrollo tridimensional de un hipercubo tetradimensional (de forma análoga al  desarrollo de un cubo de tres dimensiones en una figura plana en forma de cruz). «Al pintar la cruz [de esta forma] Dalí simboliza la creencia cristiana ortodoxa de que la muerte de Cristo fue un acontecimiento metahistórico, que tuvo lugar en una región [el más allá], que trasciende a nuestro tiempo y espacio tridimensional» (Gardner, 1981).

10. Epílogo

La belleza y el misterio de los sólidos regulares que alumbraron los pitagóricos y encantaron a los platónicos continúan fascinando en la actualidad, tanto como en las épocas helénica y renacentista, encendiendo la fantasía a todo tipo de artistas. Hoy en día hay una corriente artística, muy ligada al mundo científico, cuyas obras representan figuras de poliedros o de sus deformaciones que consiguen en sus diseños creaciones muy bellas. Numerosas ilustraciones y referencias muy documentadas de ellas se pueden encontrar en el casi inconmensurable ciberespacio de Internet. Destaca especialmente por su rigor geométrico, histórico y estético la página web de George Hart: www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Beethoven de Paul Flavin (1996). Recreación poliédrica del rostro de Beethoven, reminiscencia actual de las ideas de Platón y de Durero.

 

 

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