6.3. Resolución geométrica de la ecuación z² = az – b²

El texto de Descartes

La traducción

Si tenemos z² = az – b², hago NL igual a a/2 y LM igual a b como antes. Después, en lugar de unir los puntos M y N, dibujo MQR paralela a LN, y con N como centro describo un círculo que pasa por L y corta a MQR en los puntos Q y R . La línea buscada z es MQ o MR , dado que en este caso se puede expresar de dos formas diferentes, a saber:

Y si el círculo cuyo centro es N y pasa por L no corta ni toca a la recta MQR , entonces la ecuación carece de raíces, de modo que se puede decir que la construcción del problema propuesto es imposible.

El comentario

La justificación de la resolución gráfica propuesta por Descartes se apoya en conceptos básicos de geometría elemental.

En efecto:

En la figura anterior LM = b y NL = NS = a/2. Además, el triángulo SQL es rectángulo al estar inscrito en una semicircunferencia. Por tanto, en virtud del teorema de la altura relativa a la hipotenusa, el segmento QP = LM = b es medio proporcional entre los segmentos LP = MQ y PS = MR.

Es decir:

b² = MQ · MR

Si comparamos esta expresión con la ecuación de segundo grado que se quiere resolver [z(a – z) = b²] resulta que:

a) MQ = z y MR = PS = a – z
b) MQ = a – z y MR = PS = z

En consecuencia, el procedimiento de Descartes es válido.

Además, se tiene que:

(1)

(2)

7. Consideraciones didácticas

Después de esta excursión por el mundo del álgebra geométrica nos parece oportuno tener en cuenta algunas cuestiones de carácter didáctico:

(i) En la mayoría de los casos, los alumnos no universitarios toman contacto con los contenidos matemáticos de carácter algebraico de forma poco o nada significativa: suman, restan, multiplican y dividen polinomios aplicando el algoritmo correspondiente; resuelven ecuaciones de primer grado con una incógnita, utilizando las reglas pertinentes; resuelven ecuaciones de segundo grado con una incógnita haciendo uso de la fórmula adecuada, etc. Podríamos decir, pues, que para la mayoría de los alumnos de ESO y Bachillerato el álgebra se reduce a la manipulación de símbolos de acuerdo con reglas preestablecidas. Dicho más crudamente: el álgebra escolar es, hoy en día, rica en sintaxis, pero pobre en significados. Afortunadamente, existen enfoques visuales (los que ofrece el álgebra geométrica) que ayudan a dar significado a los contenidos del álgebra escolar, que facilitan la comprensión y adquisición de conceptos y procedimientos (al menos en una primera toma de contacto con ellos), que favorecen la resolución de algunos problemas y que, en definitiva ofrecen al alumno una imagen nueva de las Matemáticas en general y del álgebra en particular.

(ii) Desde hace años, las investigaciones de Krutetskii (1976) y otros, en el campo de la resolución de problemas, pusieron de manifiesto que, a la hora de aprender (hacer) Matemáticas, los alumnos se pueden clasificar en tres grandes grupos:

• El “visual o geométrico”, compuesto por aquellos alumnos que tienen una marcada inclinación hacia los aspectos visuales de las Matemáticas y que, consecuentemente, hacen uso del razonamiento visual.
• El “no visual o analítico”, formado por estudiantes que no tienen necesidad de recurrir a ningún tipo de soporte visual para trabajar con esquemas abstractos.
• El “intermedio o armónico”, integrado por aquellos alumnos en los que las dos orientaciones cognitivas anteriores se conjugan armoniosamente. Este tipo de alumnos hace un uso equilibrado del razonamiento visual y analítico.¹

En general, los programas de enseñanza han prestado poca atención a los aspectos visuales de las Matemáticas (excepción hecha, claro está, de los contenidos de tipo geométrico) y se han centrado casi exclusivamente en su componente analítica. Este enfoque presenta algunas deficiencias, dado que:

• No cubre las necesidades de aquellos alumnos cuya orientación cognitiva es eminentemente visual.
• Propicia el abandono de estudiantes que podrían acceder a las Matemáticas a través de su componente visual.
• Oculta los aspectos visuales que ayudan a conseguir la comprensión de conceptos y procedimientos.
• Ignora las representaciones visuales como herramientas potentes para la resolución de problemas no necesariamente geométricos.
• No contempla las demostraciones visuales como demostraciones matemáticas legítimas.

Para paliar estas limitaciones parece aconsejable incluir, siempre que sea posible, los contenidos de carácter algebraico desde una óptica visual y analítica para que los estudiantes se enfrenten al material de la manera que esté más próxima a su orientación cognitiva.

(iii) Los alumnos piensan que los aspectos visuales de un concepto o de un procedimiento son algo periférico a él y prefieren las descripciones analíticas de una propiedad a las descripciones visuales.
Los alumnos suelen mostrarse reacios al uso del razonamiento visual tanto en la resolución de problemas como en las demostraciones matemáticas. Vinner (1989), refiriéndose al rechazo de los alumnos hacia las demostraciones de tipo visual, cree que puede ser debido a la convicción de que una demostración algebraica es más rigurosa y general. Esta convicción puede basarse en los éxitos obtenidos por los estudiantes al memorizar fórmulas y procedimientos algebraicos. Además, los profesores de Matemáticas solemos tener un marcado sesgo algebraico, adquirido en los estudios universitarios, que transmitimos a nuestros alumnos.
Como dice Kline (1976):

Algunos profesores, que conocen las demostraciones rigurosas, se sienten incómodos al presentar simplemente un argumento convincente que ellos, al menos, saben que es incompleto. Pero no es el profesor quien debe quedar satisfecho, sino el estudiante. La buena pedagogía exige compromisos de esta índole.

Vinner recomienda que en la enseñanza de las Matemáticas debería hacerse hincapié en la legitimidad del enfoque visual en las demostraciones y en la resolución de problemas. De este modo, se podría desterrar la creencia, tan extendida entre el alumnado, de que una demostración visual no es una demostración matemática.

Nota:
¹ Krutetskii divide a este grupo en dos subgrupos:

• El “armónico abstracto”, formado por aquellos estudiantes que pudiendo utilizar el razonamiento visual prefieren no hacerlo.
• El “armónico pictórico”, compuesto por aquellos alumnos que pudiendo utilizar el razonamiento visual en la resolución de un problema prefieren hacerlo.