6. El álgebra geométrica de Descartes

En el libro primero de su Geometría, René Descartes presenta la resolución geométrica de algunas ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

6.1. Resolución geométrica de la ecuación z² = az + b²

El texto de Descartes

La traducción

(...) Por ejemplo, si tengo z² = az + b² construyo el triángulo rectángulo NLM, cuyo lado LM es igual a b, raíz cuadrada de la cantidad conocida b², y el otro lado LN es a/2, la mitad de la otra cantidad conocida, que multiplica a z, que es la línea desconocida. Entonces, prolongando MN, base de este triángulo, hasta O, de modo que NO sea igual a NL, la línea OM es z, la línea buscada, y se expresa de este modo:

El comentario

En cuanto a la notación, observemos que el signo de igualdad utilizado por Descartes es distinto del actual y se parece al símbolo moderno para “infinito”. Notemos también que para representar potencias de exponente 2 suele hacer uso de la multiplicación indicada [aa = a²]. Por último, advirtamos que el matemático francés utiliza el término “base” para referirse a la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Respecto al procedimiento de resolución de la ecuación, Descartes sólo lo describe y no se detiene en su justificación. Dado el carácter divulgativo-didáctico de este trabajo, creemos conveniente incluir aquí una fundamentación del método que se apoya en la proposición 36 del libro III de los Elementos de Euclides:

Si desde un punto exterior a un círculo se trazan dos rectas, una de las cuales lo corta y la otra sólo lo toca, entonces el rectángulo comprendido por toda la recta secante y su parte exterior entre el punto y la periferia convexa del círculo es equivalente al cuadrado de la tangente.

Si en la figura presentada por Descartes aplicamos la proposición anterior se tiene que:

MO · MP = LM²

Entonces, si comparamos esta igualdad con la ecuación que se quiere resolver [z(z – a) = b²] resulta que:

LM = b
MO = z
MP = z – a

Por tanto, la resolución gráfica propuesta por Descartes es correcta.

Además:

OP = OM – MP = z – (z – a) = a => ON = NP = NL = a/2

De donde:

6.2. Resolución geométrica de la ecuación y² = -ay + b²

El texto de Descartes

La traducción

Si se tiene y² = -ay + b², donde y es la cantidad que se quiere encontrar, construyo el mismo triángulo rectángulo NLM y de la base MN quito NP igual a NL, y lo que sobra PM es y, la raíz buscada. Así, se tiene que:

Y del mismo modo, si se tiene x⁴ = -ax² + b² entonces PM será x² y se tendrá que:

y así para otros casos.

El comentario

La justificación del método presentado por Descartes también se apoya en la proposición 36 del libro III de los Elementos de Euclides.

Si en la figura del texto aplicamos dicha proposición se tiene que:

MO · MP = LM²

Entonces, si comparamos esta igualdad con la ecuación que se quiere resolver [y(y + a) = b²] resulta que:

LM = b
MP = y
MO = y + a

Por tanto, la resolución gráfica propuesta por Descartes es correcta.

Además:

OP = OM – MP = (y + a) – y = a => ON = NP = NL = a/2

De donde: