2.3. Resolución geométrica de la ecuación x² = ax + b [x(x – a) = b]

El cálculo geométrico de las raíces positivas de la ecuación cuadrática x² = ax + b consiste en determinar las dimensiones x y x – a de un rectángulo de área b.

Admitamos que el área del rectángulo de la figura siguiente es b.

Entonces, el área del gnomon del diagrama adjunto también es b.

En consecuencia:

Es decir:
El segmento x – (a/2) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son  y a/2.

Con esto, el procedimiento geométrico para resolver la ecuación propuesta consta de las fases siguientes:
• Se construye un triángulo rectángulo de catetos  y a/2.
• Se prolonga la hipotenusa una longitud igual a a/2. El segmento obtenido es x (véase la figura adjunta).

2.4. Resolución geométrica de la ecuación x² + b = ax [(a – x)x = b]

Resolver geométricamente la ecuación x² + b = ax equivale a calcular las dimensiones x y a – x de un rectángulo de área b.

A la hora de dibujar un rectángulo de dichas dimensiones se pueden presentar dos situaciones diferentes:

(a) a – x > x
(b) a – x < x

Consideraremos por separado cada una de ellas.

Primera situación: a – x > x

Sea b el área del rectángulo del dibujo adjunto.

Entonces, el área del gnomon de la figura siguiente también es b.

Por tanto:

Dicho en otros términos:
El segmento a/2 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son  y (a/2) – x.

En consecuencia, la resolución geométrica de la ecuación cuadrática x² + b = ax se reduce, en este caso, al procedimiento siguiente:
• Se construye un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es a/2 y uno de cuyos catetos es . Esto sólo es posible si a/2 > [si a/2 = , entonces el triángulo se reduce a un segmento y x = a/2].
Si la construcción es posible, el otro cateto es (a/2) – x.
• Se quita de la hipotenusa el cateto (a/2) – x. El segmento resultante es x (véase el esquema adjunto).

Segunda situación: a – x < x

Sea b el área del rectángulo de la figura.

Entonces, el área del gnomon de la figura siguiente también es b.

Por tanto:

Es decir:
El segmento a/2 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son  y x – (a/2).

Consecuentemente, la resolución geométrica de la ecuación cuadrática x² + b = ax se reduce, en esta situación, a:
• Construir un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea a/2 y uno de cuyos catetos sea . Esto sólo es posible si a/2 > [si a/2 = , el triángulo se reduce a un segmento y x = a/2].
Si la construcción es posible, el otro cateto es x – (a/2).
• Prolongar la hipotenusa una longitud igual a x – (a/2). El segmento obtenido es x (véase el diagrama adjunto).