Desde el principio Mengoli intentó clarificar su aplicación del álgebra a la geometría y dedicó mucho espacio a identificar las figuras (las llama formas) que quería cuadrar con las expresiones algebraicas que utilizaba para representarlas, sin hacer ningún dibujo. Daba su propio sistema de coordenadas, definiendo la abscisa y la ordenada y describía individualmente las ordenadas de las figuras a través de las abscisas en el intervalo (0,1).  Por ejemplo, las ordenadas correspondientes a una figura descrita por una parábola las llamaba "abscisas segundas" y eran descritas por terceras proporcionales de la unidad y de la abscisa,  1 : x = x : y. Las ordenadas de estas figuras quedaban definidas por medianas proporcionales o terceras proporcionales. Es decir, la conexión entre la figura (que no representaba) y la expresión algebraica (curva) que describía la figura era la teoría de proporciones de Euclides. Así pues, cuando demostraba las propiedades de las curvas que describían la figura (creciente, punto máximo,...), utilizaba directamente la expresión algebraica y las propiedades de las proporciones sin preocuparse de la representación gráfica de la figura.


Mengoli además colocó estas expresiones algebraicas en tablas triangulares a fin de calcular a la vez todas las cuadraturas de las figuras de la tabla. Por ejemplo, para representar la parábola escribía FO.a², para la expresión y=x³ escribía FO.a³, para la expresión y=x(1-x) escribía FO.ar,  representando x por a y 1-x por r ...

Seguidamente multiplicó estas expresiones algebraicas por dos factores que calculaba fácilmente ya que sólo dependían del grado de la expresión algebraica y, por último, demostraba que todas las cuadraturas eran iguales a la del cuadrado de lado uno. Por ejemplo, calculó:

Más tarde, en 1672,  en su obra Circolo, construía una tabla de cuadraturas de figuras interpoladas y utilizando el mismo método obtenía nuevas cuadraturas. Por ejemplo, calculó:

La demostración de Mengoli es independiente del grado y sirve para cualquier figura [Massa, 1998, 129-171; 2006a, 105-109]. El álgebra le proporcionaba un método para calcular a un mismo tiempo todas estas cuadraturas y no le hacía falta hacer cada vez la cuadratura de una curva para encontrar una regla que le permitiera generalizarlas. Así pues halló el instrumento generalizador en las tablas triangulares y en el álgebra ya que las tablas se pueden extender indefinidamente, son fáciles de construir y las letras le permiten identificar las figuras dentro de la tabla.

Mengoli siguiendo una investigación muy original  "conjunta perfectamente" en su método de cuadraturas la matemática clásica, representada en este caso por Euclides (teoría de proporciones) y Arquímedes (método de exhaución),  el método de los indivisibles de su maestro y la matemática innovadora representada por el álgebra de Viète. La utilización de ésta en su método de cuadraturas es un rasgo característico y fundamental de su obra, tal como él mismo señalabaal principio de Geometriae Speciosae Elementa:

"Ambas geometrías, la antigua de Arquímedes y la nueva de los indivisibles de Buenaventura Cavalieri (preceptor mío), así como también el álgebra de Viète, han estado tratadas con bastante acierto por personas cultas; de ellas, ni confusamente ni como si fuese una mezcla, sino por una perfectaconjunción, se obtiene una nueva, la especie propia de nuestro trabajo, que no podrá desagradar a nadie." [Mengoli, 1659, 2-3].

Aunque las aportaciones de  Mengoli constituyeron un eslabón más en el proceso de la algebrización de las matemáticas, su objetivo prioritario no fue ni la construcción algebraica de las curvas ni clasificar las mismas, sino resolver unas cuadraturas aportando un nuevo método que le permitiera hallar la cuadratura del círculo. 

Difusión e influencia de las obras de Mengoli

Con respecto a la difusión e influencia de sus obras, consideraremos su vida científica dividida en dos periodos, hasta el año 1660 y del año 1670 en adelante, cuando Mengoli, aparte de diversificar el campo de sus investigaciones, empezó a dejar de ser citado en los círculos científicos distanciándose cada vez más de sus contemporáneos.

Su primera obra Novae Quadraturae Arithmeticae (1650) aparece citada en muchas cartas de los científicos europeos y provocó una discusión entre Leibniz y Oldenburg sobre qué tipo de series había sumado Mengoli [Oldenburg, 1986, IX, 488-498, 556-563, 648-652, 664-665]. Según Robinet (1987: 329), Leibniz conocía a Mengoli a través de Jacques Ozanam (1640-1717) y del problema que éste le propuso. Existe un comentario manuscrito de Leibniz al Theorema Arithmeticum de 1674 de Mengoli donde especifica que Mengoli no supo solucionar en ese momento el problema de Ozanam, pero que lo hizo más tarde [Leibniz, 1990, 37, 39, 40 i 75 y Nastasi-Scimone, 1994,10-27].

Robinet, al situar a Leibniz en Bolonia, identifica la obra de Mengoli como una de las fuentes cruciales para la invención leibniziana en matemáticas. En realidad Leibniz leyó minuciosamente la obra de Mengoli y probablemente utilizó sus resultados. Recientemente se han publicado unos escritos de Leibniz en los que éste comenta los resultados obtenidos por Mengoli en Circolo y analiza el procedimiento utilizado [Leibniz, 2003, 735-748].

Su obra Speculationi di Musica es, después de la Novae, la segunda obra de Mengoli más citada en la correspondencia europea. Con ella empezaba la parte más filosófica de su carrera. Aquí es dónde disertaba por primera vez sobre los motivos de su filosofía natural. Esta obra, esperada con impaciencia por los científicos londinenses, fue comentada y parcialmente traducida en las Philosophical Transactions (1674, 100, 6194-7000). También apareció citada en la correspondencia de Collins con James Gregorie (1638-1675) y con Isaac Newton (1643-1727), donde Collins describía a Mengoli como: "un excelente matemático y músico" [Rigaud, 1841, 299-301, 319-321].

Pero no todas las alusiones a Mengoli fueron positivas. Cabe mencionar las referencias a su obra en la correspondencia entre Isaac Barrow (1630-1677) y Collins. Así en una carta con fecha del 1 de febrero de 1666, Barrow opinaba que leer las obras de Mengoli era más duro que leer obras escritas en árabe [Rigaud, 1841, II, 33-40-46]. No obstante, en estas cartas se pone de manifiesto que las obras de Mengoli eran conocidas y esperadas en Europa. 

Se conoce muy poco de la actividad científica de Mengoli entre el año 1660 y el 1670, puesto que no publicó ninguna obra. Mengoli vivía retirado en su iglesia de Sta. Mª Magdalena y la única actividad en la que colaboraba era la astronomía; hacía observaciones sobre los astros, eclipses, cometas,... con el fin de encontrar el "curso" del sol, utilizando la meridiana de S. Petronio.

GNOMONE SAN PETRONIO

A través de la correspondencia publicada hace pocos años por Baroncini y Cavazza (1986), podemos percibir mejor los pensamientos del boloñés del último periodo, ya que abarca del año 1674 al 1686. De entre las cartas editadas (64), todas ellas de Mengoli, y de las cuales no se conservan las respuestas, 54 estaban dirigidas a la misma persona, concretamente a Magliabechi, que era el contacto entre nuestro autor y el mundo científico italiano del momento. Al leerlas, se advierte que, al final de su vida, se sentía muy solo. Efectivamente, después de la década de 1670, Mengoli ya no volvió a ser citado y aunque sus obras al principio habían sido muy apreciadas por los matemáticos europeos, parece ser que murió aislado e ignorado [Gregory, 1939, 179-186-203-231-232-236].

No hay una opinión unánime acerca de los motivos de este aislamiento. Es posible que su manera de escribir confusa y enrevesada, y su notación hicieran difícil la lectura de sus obras. Cavazza (1979/80) especifica que la razón de su aislamiento no se encontraba ni en la oscuridad lingüística de sus obras, ni en la incomprensibilidad de los temas y de los conceptos, sino en una incompatibilidad ideológica de fondo. Destaca Cavazza tres aspectos del pensamiento de Mengoli: suinterés por la astrología, su concepción auxiliar de la ciencia y sus ideas sobre la teología matemática.

Sin embargo, muchos matemáticos de la época probablemente no analizaron su obra debido a su manera dificultosa y poco clara de escribir. Realmente, Mengoli elaboró un lenguaje algebraico propio, dónde la notación, a medida que se avanzaba, se complicaba cada vez más. Además, los procedimientos que utilizó para introducir el álgebra en la geometría no coincidían con las tendencias del momento. También pudieron influir factores externos, ya que durante la segunda mitad del año 1600 en Bolonia se produjo una crisis cultural muy importante, y los científicos con más renombre la abandonaron - por ejemplo, Cassini se trasladó a París (para dirigir el observatorio real) y Montanari a Padua [Pepe, 1981, 56-101]. Los centros conectados con los ambientes europeos estaban limitados a los centros florentinos, alrededor de la corte de los Médicis, y a los romanos, atados a la Curia, quedando fuera de estos contactos los de Bolonia.

Otro aspecto que podría ayudar a explicar el olvido en que cayó su obra es el giro intelectual de Mengoli en su investigación a partir del año 1660. Después del Circolo, que le debía permitir averiguar las reglas de los solsticios y de los equinoccios, no escribió más obras de matemática pura, sino obras relacionadas con la cronología y la cosmología bíblica y que, además, no concordaban con el pensamiento filosófico de la época.

Quizás no haya una única razón y sea la conjunción de todos estos argumentos la que puede encaminarnos a encontrar una respuesta al por qué del alejamiento de sus contemporáneos.

Estudios recientes

Aunque durante casi dos siglos el nombre de Mengoli permaneció ignorado, a principios del siglo veinte las referencias al estudio de sus obras matemáticas hicieron que empezase a ser valorado, especialmente por su obra sobre la teoría de series infinitas. Eneström (1912), Vacca (1915) y Agostini (1941) mostraron que Mengoli fue el primero en calcular sumas de series infinitas distintas de las series geométricas, en enunciar el concepto general de convergencia y divergencia y en demostrar que la serie armónica es divergente. Más recientemente también Giusti (1991) describió los resultados obtenidos en la Novae Quadraturae Arithmeticae.

Agostini (1950) ya puso de relieve la importancia de la Geometriae Speciosae Elementa, en concreto, el concepto de límite y la integral definida. También Massa (1997-1998-2001-2003-2006a-2006b) ha realizado diversos estudios así como una tesis doctoral, sobre la obra matemática de Mengoli La autora muestra en sus publicaciones la originalidad y la creatividad de los métodos mengolianos.

En 1991 Gozza hizo diversos estudios sobre la Speculationi di Musica de Mengoli. También Wardhaugh ha leído recientemente (2006) una tesis doctoral sobre la música del siglo XVII analizando en particular esta obra.

Estas nuevas investigaciones han de permitir profundizar en la obra de Mengoli y  situarla en el lugar que les corresponde dentro de la historia de las matemáticas y del pensamiento del siglo XVII.