El nombre de Mengoli aparece en el registro de la Universidad de Bolonia en el periodo 1648-1686, donde había sustituido a su maestro Cavalieri. En el curso académico 1648-49 fue titular de la plaza de Ad Arithmeticam; posteriormente, en el curso 1650-51, pasó a ejercer la cátedra de Ad Mechanicam y, finalmente, en el curso 1678-79 obtuvo la de Ad Mathematicam, que ocupó hasta su muerte. 

Mengoli se graduó en filosofía en 1650 y tres años más tarde en leyes civiles y canónicas. En este primer período escribió tres obras de matemática pura, Novae Quadraturae Arithmeticae seu De Additione Fractionum (Bolonia, 1650), Via Regia ad Mathematicas per Arithmeticam, Algebram Speciosam et Planimetriam ornata, Maiestati Serenissimae D. Christinae Reginae Suecorum (Bolonia, 1655) y Geometriae Speciosae Elementa (Bolonia, 1659).

En 1660 fue ordenado sacerdote y, desde este momento y hasta su fallecimiento, fue prior de la iglesia de Santa María Magdalena de Bolonia. A partir de 1670  aparecieron nuevamente obras suyas: Refrattioni e Parallase Solare (Bolonia, 1670), Speculationi di Musica (Bolonia, 1670) y Circolo (Bolonia, 1672). Estas obras reflejan su nuevo propósito de investigar, no únicamente sobre matemáticas puras, sino también sobre matemáticas mixtas que incluían la astronomía, la cronología y la música. Además, su investigación estaba manifiestamente dirigida a justificar los escritos bíblicos y, a hacer apología de la fe católica. Continuó en esta línea y publicó dos obras sobre cosmología y cronología bíblica: Anno (Bolonia, 1673) y Mese (Bolonia, 1681), y dos sobre lógica y metafísica: Arithmetica Rationalis (Bolonia, 1674) y Arithmetica Realis (Bolonia, 1675).

Las obras de Mengoli

La primera obra que publicó, Novae Quadraturae Arithmeticae seu De Additione Fractionum, es la que le ha dado más renombre como matemático. En ella, trata de series infinitas, calcula sus sumas y demuestra sus propiedades. En el prefacio (12 páginas sin numerar) demuestra la divergencia de la serie armónica, adelantándose casi cuarenta años a Bernoulli. Además del prefacio, la obra está compuesta por tres libros cuyos resultados están presentados en orden creciente de dificultad. En el primer libro se tratan las series de fracciones cuyos denominadores son n(n+1) (Mengoli los denomina números planos), siendo n un número natural. De hecho, calcula, en notación actual:


En el segundo libro estudia las series de fracciones cuyos denominadores son n(n+1)(n+2) (Mengoli los denomina números sólidos), siendo n un número natural. Así, calcula, en notación actual:


En el tercer libro aparecen estudiadas series más generales.

La segunda obra matemática, en orden cronológico, se titula Via Regia ad Mathematicas por Arithmeticam, Algebram Speciosam et Planimetriam ornata, Maiestati Serenissimae D. Christinae Reginae Suecorum (1655). Consta de 45 páginas escritas en verso en las que Mengoli muestra cómo entiende las matemáticas y qué partes considera importantes. Fue escrita por encargo con motivo de la visita de la Reina Cristina de Suecia a Bolonia y, en ella, nuestro autor le expone a la Reina una “vía real” para entender las matemáticas. El libro está dividido en tres partes bien diferenciadas: aritmética, álgebra especiosa y planimetría.

Cuatro años más tarde, en 1659, publicó la que a nuestro  entender fue su obra matemática más importante: Geometriae Speciosae Elementa. El contenido de la obra no está fuera de las corrientes de la época, sino que se ocupa de los problemas comúnmente estudiados en aquel momento. El aspecto más innovador es la manera de tratarlos y los resultados obtenidos. La obra de 472 páginas, está compuesta por seis capítulos, que denomina elementos, y una introducción titulada Lectori Elementario. En la introducción, que tiene 80 páginas, explica cada uno de los capítulos por separado. En estas explicaciones no hay demostraciones ni teoremas, aunque hay ejemplos de los resultados obtenidos en cada capítulo. En el primer capítulo, titulado De potestatibus, à radice binomia, et residua, demuestra las potencias de la suma y la resta de un binomio expresadas con lenguaje algebraico. El segundo, De innumerabilibus numerosis progressionibus, presenta los cálculos de numerosas sumas de potencias y productos de potencias, con su propia notación. En el tercero, De quasi proportionibus, define razón “quasi nula”, “quasi infinita” y “quasi un número”. Con estas definiciones construye una teoría de “quasi proporciones” basándose en la teoría de proporciones del libro V de los Elementos de Euclides. De hecho, Mengoli incorpora la nueva idea de quasi razón, como antecedente del concepto actual de límite. En el cuarto capítulo, De rationibus logarithmicis, construye de manera análoga a la teoría de proporciones de Euclides una teoría de proporciones logarítmicas. En el quinto, De propriis rationum logarithmis, construye el logaritmo y sus propiedades, utilizando los resultados anteriores. En el sexto, De innumerabilibus quadraturis, calcula las cuadraturas de curvas que corresponden a funciones que, para cualesquiera números naturales m y n, hoy escribiríamos:

Durante diez años Mengoli no publicó ninguna obra y cuando, en el año 1670, reanudó sus publicaciones presentó unas tablas sobrela refracción solar tituladas Refrattioni e Parallase Solare. Los cálculos que expuso los obtuvo a través de las observaciones realizadas con el gnomone de la iglesia de San Petronio de Bolonia.

La obra Speculationi di Musica, también de 1670, tiene 300 páginas, divididas en 25 capítulos que el autor denomina "especulaciones". En ella se puede leer una teoría original del sonido, el rechazo de la teoría de la consonancia de Galileo y la extraordinaria fisiología de la percepción musical que fundamentó en la existencia de dos tímpanos en la oreja humana. Para demostrarla, Mengoli hizo una disección de la oreja con Galeatio Manzio, profesor de anatomía de la Universidad de Bolonia, y para justificar su teoría del sonido, utilizó los logaritmos.

En 1672, publicó Circolo en cuyas páginas iniciales explica que ya, en el año 1660, había obtenido la cuadratura del círculo, aunque sin darla a conocer. Ahora, se decidía a publicarla ya que necesitaba este resultado para las reglas de los solsticios y de los equinoccios. La obra consta de 60 páginas y su estructura es diferente de la Geometriae, sin definiciones, sin teoremas ni problemas. Contiene 160 parágrafos numerados, sin demostraciones, en el texto únicamente aparecen tablas triangulares, cálculos y explicaciones sin ninguna figura geométrica, aunque obtiene la cuadratura del círculo mediante el área de la figura descrita por la expresión algebraica y = x^1/2 (1-x)^1/2 y el eje de abscisas (corresponde al semicírculo de radio 1⁄2). Mengoli calcula también una acotación del número p entre dos productos infinitos, llegando a aproximar su valor con once decimales exactos.

Las últimas obras de Mengoli ya forman parte de su proyecto apologético de la fe católica.

El método de cuadraturas de Mengoli

La obtención de la cuadratura de las infinitas parábolas e hipérbolas y, como no, la cuadratura del círculo, constituyó una de las grandes preocupaciones de los matemáticos del siglo XVII.

Cavalieri, fue de los primeros en desarrollar un nuevo método de cuadratura llamado método de los indivisibles. Cuando Cavalieri expuso su método ya había dos antecedentes claros: la técnica de los antiguos, que hoy se llama método de exhausción, creado por Eudoxo y que Euclides y Arquímedes explotaron en una gran variedad de caminos para determinar áreas de figuras curvilíneas, volúmenes, superficies y arcos, y el trabajo de Kepler. El método de los indivisibles de Cavalieri se encuentra explicado básicamente en dos de sus libros: Geometría indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (Bolonia, 1635) y Exercitationes geometricae sex (Bolonia, 1647). Sobre los indivisibles de Cavalieri puede consultarse Giusti (1980), Andersen (1984/85, 291-367) y Massa (1994, 68-100). La demostración de las cuadraturas de las infinitas parábolas y = x^m, para m entero positivo, fue publicada por Cavalieri en esta última obra de 1647, aunque afirmaba conocerla desde el 1639.

Unos años antes, en 1636, Gilles Persone de Roberval (1602-1675) en una carta dirigida a Fermat enunciaba una  regla para encontrar la suma finita de potencias y la aplicaba para calcular las cuadraturas de estas infinitas parábolas. Así mismo, Fermat especificaba en una carta a Cavalieri, antes del 1644, que había cuadrado las parábolas, exponiéndole la regla y un ejemplo.

Mengoli, en un primer cálculo, en Geometriae utilizó el método de los indivisibles de su maestro Cavalieri, pero en la misma obra las volvió a calcular con un segundo método aritmético algebraico. No está clara la razón por la que Mengoli  no siguió el camino de su maestro. Quizás fuera debido a que el método de Cavalieri había recibido muchas críticas y Mengoli no podía dejar de ser sensible a ellas. Quiso buscar nuevos métodos, con fundamentos  más sólidos, introduciendo en sus cálculos el álgebra de Viéte a través de las tablas triangulares, construidas a partir del triángulo aritmético de Pascal, y la teoría de quasi proporciones.