Hilbert no sólo propuso la idea de que los axiomas admitían interpretaciones múltiples, sino que desplegó su habilidad matemática manejando un gran número de modelos (muchos puramente aritméticos) que servían para investigar propiedades del sistema de axiomas. En esta época, le interesaban especialmente cuestiones acerca de la independencia entre los axiomas, y los cuerpos teóricos que es posible erigir sobre ciertos grupos de axiomas. Por estas razones su obra serviría como un modelo esencial para la investigación de fundamentos y la práctica axiomática en las décadas siguientes.

Otro hito fundamental, y una de las razones del aura legendaria que ha tenido Hilbert, fue su conferencia sobre “Problemas matemáticos” en el Congreso Internacional de París, en 1900. Por cierto, no era una conferencia plenaria, aunque con posterioridad haya aparecido como el discurso más influyente de aquel congreso; tampoco parece haber despertado entusiasmo de un modo inmediato. Pero sin duda Hilbert fue muy ambicioso al afrontar el reto de “levantar el velo tras el que se oculta el futuro” de las matemáticas, y estuvo a la altura de la ocasión, con lo que de paso logró influir en ese futuro. En París sólo hubo tiempo para discutir 10 de sus veintitrés problemas: la hipótesis del continuo de Cantor; la cuestión de la consistencia para la aritmética de los reales; la axiomatización de teorías físicas; varios problemas de teoría de números, incluyendo la conjetura de Riemann; una cuestión sobre curvas y superficies definidas por ecuaciones polinómicas; las soluciones analíticas de los problemas regulares en cálculo de variaciones; la existencia de ecuaciones diferenciales ordinarias que correspondan a grupos monodrómicos dados; y una cuestión de Poincaré sobre la parametrización de curvas algebraicas por medio de funciones automorfas.

Ahora bien, ya que hemos mencionado el mito Hilbert, conviene analizarlo un poco, y nada mejor que citar a uno de sus discípulos más aventajados, Hermann Weyl:

Hilbert imprimió el sello de su espíritu sobre toda una era de las matemáticas. Y sin embargo no creo que baste su investigación para explicar el brillo que irradiaba de él, ni su tremenda influencia. Gauss y Riemann, por mencionar otros dos hombres de Göttingen, fueron matemáticos de más talla que Hilbert, y sin embargo su impacto inmediato sobre sus contemporáneos fue indudablemente menor. No hay duda de que esto se debe en parte a las cambiantes condiciones de los tiempos, pero probablemente fue más determinante el carácter de estos hombres. Hilbert estaba lleno de entusiasmo por la vida, por relacionarse con otra gente, y por disfrutar intercambiando ideas científicas. Tenía su propia y libre manera de aprender y enseñar … a través de conversaciones … en largas caminatas a través de los bosques que rodean Göttingen, o, en los días lluviosos, como peripatéticos, en el paseo cubierto de su jardín. Su optimismo, su pasión espiritual y su fe inquebrantable en el valor de la ciencia eran irresistiblemente contagiosos.

Esta pasión y ese optimismo se reflejan también en la florida retórica de sus discursos, por ejemplo en el célebre “wir müssen wissen, wir werden wissen” [debemos saber; llegaremos a saber], o en sus referencias al “paraíso de Cantor”, que de paso demonizaban a figuras como Kronecker o Brouwer.

Pero también fue importante el tiempo y el lugar: la pequeña pero poderosa universidad de Göttingen, sobre todo en los “días de gloria” anteriores a 1914, con un impresionante grupo de profesores entre los que descollaban Hilbert y Minkowski, con numerosos discípulos de alto nivel y visitantes extranjeros, todo ello orquestado por ese gran político científico que fue Felix Klein. Fue Klein quien a lo largo de años, ganándose la confianza del poderoso ministro de Educación Althoff, convirtió a Göttingen en el centro matemático más importante del mundo, atrayendo a numerosísimos visitantes. Gracias a él se crearon allí Institutos dedicados a cuestiones de física, matemática aplicada y mecánica, aerodinámica, etc. Weyl lo recuerda así: “Klein reinaba sobre nosotros como un dios distante, ‘divus Felix’, desde arriba de las nubes”.

Cuando en 1895 Klein impulsó el nombramiento de Hilbert como catedrático, hubo quien le reprochó que traía a aquel joven para estar cómodo y dominar la situación. Su respuesta fue: “voy a nombrar al más incómodo de todos”; y desde luego hay que reconocer que no tuvo miedo a alguien que le haría sombra. Las excepcionales condiciones que había en Göttingen explican cómo, en 1902, Hilbert hizo algo inaudito en Alemania: rechazar la propuesta de una cátedra en Berlín. En cambio, aprovechó para negociar con el Ministro una plaza para Minkowski en Göttingen, y tras lograrlo exclamó: “ahora somos invencibles”.

Volviendo a las etapas investigadoras de Hilbert, la siguiente tiene que ver con diversas cuestiones de análisis, especialmente los trabajos que conducirían al concepto de espacio de Hilbert (introducido por J. von Neumann hacia 1930). El contexto de libre discusión de ideas que existía en Göttingen fue el origen de estos trabajos: en 1901 un visitante sueco expuso en el Seminario Matemático las ideas de Fredholm sobre ecuaciones integrales, que planteaban una analogía con la teoría de ecuaciones lineales. Estas ideas dispararon la productividad de Hilbert en una nueva dirección, absorbiendo su atención hasta 1912. Desarrolló aquella analogía considerando ecuaciones lineales en infinitas incógnitas y varios tipos de formas cuadráticas, dando así un gran impulso al análisis funcional y la teoría espectral. Estas cuestiones se prestaban a múltiples aplicaciones en física matemática, y cabe destacar el tratamiento que dio Hilbert a la teoría cinética de los gases, a la teoría de la radiación, pero también su solución al problema de monodromía para ecuaciones diferenciales lineales que había planteado Riemann.

Por estas razones, pero también debido al enorme prestigio de Hilbert y a la productividad de Göttingen, ese círculo de cuestiones del análisis funcional se convirtió en una moda a nivel internacional. Con todo, según la opinión de un experto en el asunto como Weyl, la mayor parte de aquellas contribuciones fueron de valor efímero, y “no fue cuestión de mérito sino un favor de la fortuna” cuando hacia 1923 se descubrió que la teoría espectral en el espacio de Hilbert era la herramienta adecuada para el tratamiento matemático de la física cuántica.

Es característico de la completa personalidad de Hilbert que a continuación dedicara su atención a problemas de física teórica. Pero aquí también influye el contexto: las condiciones privilegiadas de Göttingen en estos temas, los largos esfuerzos de Klein por fomentar el trabajo en matemática aplicada, y los intereses de Minkowski. Hilbert impulsó el proyecto de axiomatizar las teorías físicas y desarrolló resultados en física matemática, pero también dedicó su atención a problemas candentes de aquellos años como los del átomo y la relatividad. En este sentido es bien conocido que en 1915 trabajó en competencia amistosa con Einstein sobre los problemas de la teoría de la gravitación relativista. Pero lo cierto es que, contra lo que se ha dicho, no hubo aquí un descubrimiento simultáneo de las ecuaciones de campo einsteinianas: la discusión con Hilbert sirvió de ayuda, pero el logro fue enteramente mérito de Einstein.

La última etapa investigadora de Hilbert, ya a una edad avanzada, fue su famosa intervención en la disputa sobre los fundamentos: la formulación del programa de Hilbert, que daba un giro realmente novedoso al tema. Las actitudes de Hilbert sobre los fundamentos evolucionaron desde una preferencia inicial por el logicismo de Dedekind en los años 1890. Tras la primera Guerra Mundial, las críticas a la matemática “clásica” planteadas por Brouwer y Weyl le motivaron a intentar “eliminar de una vez por todas las dudas escépticas sobre las matemáticas”. Sin olvidar nunca el contenido conceptual de las teorías matemáticas ni la importancia de la intuición, Hilbert apostó por resolver el problema de los fundamentos combinando la axiomática con la nueva lógica formal. Esto permitía una formalización completa de las teorías matemáticas conocidas, y el desarrollo de una teoría de la demostración que consideraba las demostraciones como resultado de meras combinaciones de símbolos según reglas formales prescritas. Ahora, bastaba demostrar que ninguna derivación formal, ninguna combinación de símbolos podía conducir a la fórmula 0≠0 y con ello quedaría establecida la consistencia de la teoría formal estudiada.

El trabajo sobre este tema en los años 1920 fue esencial para la maduración definitiva de la lógica matemática y para el surgimiento de las teorías de la computación. Fue una obra colectiva, con el gran lógico Paul Bernays como colaborador imprescindible de Hilbert, y con figuras de la talla de von Neumann realizando aportaciones originales. Es bien sabido cómo la genial contribución de Kurt Gödel en 1931 puso fin al proyecto de demostrar la consistencia de la aritmética de Peano por medios finitarios. De todos modos, la aportación del maestro y su entusiasmo lograron mantener el rumbo del gran barco de las matemáticas: pese a que las dudas escépticas nunca fueron exorcizadas del todo, la matemática “clásica” siguió gozando de la mejor salud. Además, no hay que olvidar el poderoso desarrollo de la lógica matemática posterior, ni sus decisivas aplicaciones tecnológicas en el mundo de los ordenadores.