Criba de Eratóstenes. Es un sencillo método para hallar números primos y aparece descrita en Introductio Arithmetica de Nicómaco de Gerasa (60-120). Consiste en hacer una tabla de números naturales sucesivos. Empezando con el 2 que es primo, vamos tachando de la lista todos los múltiplos de 2. El primer número que no está tachado es el 3, que es primo. A partir de él vamos tachando todos los múltiplos de 3. El siguiente número que no aparece tachado es el 5, que es primo. A partir de él vamos tachando los múltiplos de 5. Ahora el primer número que no aparece tachado del principio de la lista, el 7 en este caso, tiene que ser primo ya que de haber tenido un divisor lo habríamos tachado ya. Seguimos pues tachando los múltiplos de 7, de siete en siete. Y así sucesivamente. Los números que van quedando de la lista sin tachar son primos.


El problema de la duplicación del cubo. La duplicación del cubo ha sido uno de los problemas geométricos más interesantes del mundo griego. Podemos enunciarlo así:

Dado un cubo, construir un cubo de volumen doble.

Las reglas de juego válidas para las construcciones geométricas en la geometría griega son las que se pueden hacer con regla y compás, ya que éstas siguen los postulados de Euclides. Si el volumen del cubo original es a, el problema equivale a construir un segmento de longitud x, tal que x³=2a.

Aunque el objetivo original de la construcción se ha demostrado imposible (Wantzel, 1837), el problema ha dado lugar a interesantes construcciones y los griegos introdujeron numerosas curvas como instrumento para su solución. Entre ellas cabe destacar a las cónicas (Menecmo) y la cisoide de Diocles. Una de las primeras reducciones es debida a Hipócrates de Quíos (470-410 aC), que reduce el problema de la duplicación a hallar dos medias proporcionales entre dos segmentos dados, esto es: dados dos segmentos a, b, encontrar otros dos nuevos segmentos x, y tales que


De la primera igualdad se obtiene y=x²/a. De la igualdad entre el primer y tercer término y=ab/x. Igualando estas dos resulta x³= a²b. Por tanto si tomamos b=2a, resulta x³=2a. Luego el segmento de longitud x daría la solución.

Eratóstenes diseñó un aparato para construir estas medias proporcionales. El mecanismo está dibujado en la figura de más abajo. Consta de un armazón formado por dos líneas paralelas AX, EY en donde tenemos tres triángulos AMF, MNG y NQH que se pueden deslizar entre estas dos barras paralelas como si se deslizaran entre dos guías. La posición inicial es


En la segunda figura mantenemos AMF sin mover como antes en la primera posición, pero deslizamos los triángulos segundo y tercero a las nuevas posiciones que se solapan M'NG, N'QH, de tal manera que los puntos de intersección B,C,D formen la línea recta ABCDK.

Entonces los segmentos
x = BF, y = CG son medias proporcionales entre a = AE, b = DH. En efecto
AE:BF=BF:CG=CG:DH
Por la proporcionalidad entre los elementos de la figura.

La historia del problema de la duplicación del cubo se conoce en gran parte por el bizantino Eutocio de Ascalon (480-540) en su Comentario sobre “La esfera y el cilindro” de Arquímedes. Entre las distintas soluciones que Eutocio muestra está la de Eratóstenes. Es una narración muy bonita en la forma de una supuesta carta que Eratóstenes escribe al rey Ptolomeo. Empieza así:

Eratóstenes al rey Ptolomeo, salud
Cuentan que uno de los poetas trágicos antiguos puso en escena a Minos que estaba haciendo construir un sepulcro para Glauco, y al enterarse que medía cien pies por todos lados, decía:
“Escaso recinto señalaste para una tumba real;
que sea el doble y, sin que pierda en belleza,
al punto duplica cada lado del sepulcro”.

Sigue el texto de la carta diciendo que se los obreros se habían equivocado, ya que al duplicar los lados el volumen se multiplicó por ocho. Entonces se buscó entre los geómetras de qué manera alguien sería capaz de duplicar el volumen de un sólido manteniendo la misma forma. El problema se llamó el de “la duplicación del cubo”, porque había empezado con un cubo al que querían construir de volumen doble. Narra luego la reducción de Hipócrates de Quíos de hallar las medias proporcionales y la duplicación de la escuela de la Academia de Platón del altar de de Delos, donde el dios Apolo exigió, para parar la plaga, que el altar de forma cúbica fuera duplicado en tamaño. Da después Eratóstenes la descripción de su instrumento y la demostración de su funcionamiento. Luego añade: “Tras este hallazgo, podremos cubicar en general cualquier sólido dado contenido por paralelogramos y hacerlo con altares y templos … La idea será útil también para quienes quieran hacer mayores las catapultas o los ingenios para lanzar proyectiles”.

El instrumento está descrito también en la obra de Papo de Alejandría (290-350 que lo llama mesolabio (toma medias). Fue construído en bronce en la base de una columna que Eratóstenes erigió en honor de su rey Ptolomeo.

Otros trabajos. Sus tres principales obras poéticas son Hermes y Erígone Hesiodo, de las que nos han llegado sólo unos pocos fragmentos. Sobre la comedia antigua, son unos estudios literarios de al menos 15 libros. Eratóstenes fue el primer escritor griego que hizo un estudio serio de la cronología estableciendo un sistema de cómputo basado en las olimpíadas. En Olimpiónicas da una lista de vencedores de las olimpiadas. En Cronografía, de nueve libros, divide desde la toma de Troya (1183) hasta la muerte de Alejandro (323) en diez épocas. Estableció fechas de hechos relevantes que se mantuvieron en toda la antigüedad y que siguen siendo válidas hasta hoy, como por ejemplo la toma de Troya (1104/1103), la primera Olimpíada (777/776), la invasión de Jerjes (480/479), etc.