1. Introducción

La papiroflexia es una actividad que suele resultar muy gratificante y atractiva para personas de todas las edades. Suele hacer mucha ilusión el construir, sólo con nuestras manos y nuestra imaginación, verdaderas obras de arte. Por ello aumenta la autoestima de todo el que se dedica a ella y motiva para investigar posibles variaciones de lo que hayamos conseguido construir. Además su práctica sólo necesita uno de los recursos más abundantes en nuestra sociedad, el papel.

Desde el punto de vista educativo es también un recurso muy importante ya que permite desarrollar competencias clave en el alumnado. En particular, en nuestra materia, las matemáticas, es un poderoso reclamo para comprobar y demostrar propiedades que debemos tratar en nuestras clases. Podemos trabajar aspectos visuales muy atractivos como la construcción de poliedros, y no solamente regulares doblando un cuadrado o un rectángulo, sino también los deltaedros o los sólidos de Catalan (en honor del matemático belga Eugène Charles Catalan). Podemos construir superficies regladas como el paraboloide hiperbólico. En el plano podemos desarrollar aspectos tan diversos como cónicas mediante envolventes, mosaicos artísticos que recubran el plano o demostrar los productos notables algebraicos. Habiendo trabajado muchos recursos diferentes, no hemos encontrado ningún método más claro para mostrar en qué consiste el centro de gravedad de un triángulo que trazar las tres medianas mediante doblado, hallar el baricentro como punto de corte de esas medianas, y al colocar el triángulo apoyado por ese punto en un punzón observar cómo el triángulo se mantiene en equilibrio.

En la década pasada, ya presentamos en nuestra sección de juegos que aparecía en la revista SUMA un artículo dedicado a la papiroflexia matemática¹. En él mostrábamos cómo conseguir distintos polígonos regulares mediante dobleces en una tira de papel. Sin embargo, existen muchas otras actividades matemáticas interesantes para trabajar en clase, por ejemplo, cómo dividir mediante doblado un cuadrado en 5, 7 o 9 partes iguales, cómo conseguir rectángulos especiales, como el áureo o el que tiene la proporción 1:, que corresponde a los formatos DIN, incluso cómo conseguir relaciones que no son posible con regla y compás, como la trisección del ángulo o la duplicación del cubo. Todas ellas, y muchas más, hemos trabajado este año en nuestro proyecto de la XVI Feria de la Ciencia que se ha desarrollado en Sevilla.

Parte de ese trabajo lo vamos a presentar en este artículo. Nuestra pretensión es mostrar cómo se pueden demostrar algunos teoremas más o menos conocidos mediante doblado de papel. Todos los teoremas que vamos a ver utilizan propiedades simples de geometría, pero seguramente algunas no sean tan conocidos como otras.

2. Teorema de Pitágoras

Como no podía ser de otra forma, vamos a comenzar por el que es el teorema estrella de la enseñanza secundaria, del que cualquier persona reconoce haber oído hablar, aunque algunos sean incapaces de recordarlo.

Este teorema nos dice que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

El matemático inglés e historiador de las Matemáticas W. W. Rouse Ball, en su “A Short Account of the History of. Mathematics”, plantea que la siguiente demostración sin palabras puede haber sido la aportada originalmente por Pitágoras.

Imagen: https://culturacientifica.com/2013/05/01/pitagoras-sin-palabras/

Vamos a ver la demostración partiendo de los dobleces que realizaremos en un cuadrado, que aconsejamos que sea de 15x15 cm.

1)    Primero doblamos por una de las diagonales y tras marcarla, desdoblamos el papel.

2)    Llevamos uno de los vértices que forman esa diagonal a coincidir con ella, de forma que no llegue al centro de la diagonal.

3)    Doblamos la hoja, en las dos direcciones, siguiendo las líneas indicadas por los catetos del triángulo doblado.

4)    Se marcan los dobleces.

5)    Al desdoblar nos vamos a encontrar con las líneas del dibujo 5. A partir de ahora, las oblicuas de las diagonales no las vamos a tener en cuenta. Nos queda por tanto el cuadrado dividido en dos cuadrados y dos rectángulos.

6)    Trazamos una de las diagonales de uno de los rectángulos, obteniendo dos triángulos rectángulos. Si hiciésemos lo mismo con el otro rectángulo observamos que el cuadrado ha quedado dividido en cuatro triángulos rectángulos iguales (correspondientes a los dos rectángulos) más dos cuadrados cuyos lados coinciden con la medida de los catetos del triángulo rectángulo.

Ahora, para completar el teorema necesitamos llevar la medida del lado pequeño sobre el lado izquierdo del cuadrado y el inferior, para ello realizamos los dos siguientes pasos.

7)    Dividimos el cuadrado por la mitad y la línea correspondiente a la división menor se marca sobre el lado posterior. Según se señala en la imagen.

8)    No es necesario marcar toda la división, basta con el extremo.

9)    Hacemos ahora lo mismo, en sentido perpendicular, para llevar la medida del cateto menor sobre la parte derecha del lado inferior.

10) Igual que en el caso anterior, no es necesario marcar todo el doblez, basta con señalar la parte inferior del cateto menor sobre la parte interior.

11) El último paso es repetir la diagonal del rectángulo que se había hecho en el paso 6, en los restantes lados y siguiendo siempre una diagonal a la siguiente.

12) Ahora podemos apreciar en el paso 12 que el cuadrado original se ha dividido en cuatro triángulos rectángulos más un cuadrado cuyo lado coincide con la hipotenusa del triángulo. Comparando esta expresión con la obtenida en el paso 6, al eliminar los cuatro triángulos rectángulos obtenemos que el cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados sobre los catetos. Como queríamos demostrar.

3. Teorema de la mediana sobre la hipotenusa

En un triángulo rectángulo, la mediana sobre la hipotenusa mide lo mismo que la mitad de esa hipotenusa.

Este teorema es muy fácil de demostrar. Dado que la mediana une el punto medio de un lado con el vértice opuesto, basta señalar con un doblez el punto medio de la hipotenusa y unir ese punto, mediante un doblez, con el vértice opuesto que será el correspondiente al ángulo recto (Figura 1).

Para comprobar que la mediana mide la mitad de la hipotenusa basta hacerla coincidir con la mitad de la hipotenusa, marcada al señalar el punto medio. Para ello basta doblar la bisectriz de cualquiera de los ángulos formados por una de las dos mitades de la hipotenusa con la mediana (Figura 2).

4. Teorema de los puntos medios de un triángulo

Si se unen los puntos medios de dos lados cualesquiera de un triángulo, la línea correspondiente es paralela al otro lado y mide la mitad de éste.

En primer lugar, marcamos los puntos medios de dos lados y trazamos la línea que los une. (Figura1).

Doblamos por esa línea marcada y observamos que quedan tres triángulos, dos parte del triángulo original y uno que es doble resultado del doblez anterior (Figura 2). El siguiente paso es doblar por las alturas de los dos triángulos de los extremos.

Una vez hecho encontramos un rectángulo, uno de cuyos lados es el doblez del primer paso y cuyo lado opuesto está formado por la mitad del lado opuesto inicial que se han unido dos veces al hacer las dobleces (Figura 3).

Se observa fácilmente que el segmento determinado es paralelo al otro lado y que su longitud es igual a la mitad de la longitud del lado al cual es paralelo.

Este procedimiento es el mismo que se sigue para demostrar, usando papiroflexia, que los tres ángulos de un triángulo suman 180º y que el área de un triángulo es base por altura partido por dos.

El teorema anterior se puede generalizar para los trapecios. Se llama mediana de un trapecio a la línea que une los puntos medios de los lados no paralelos.

5. Teorema de la mediana de un trapecio

En un trapecio la mediana es paralela a las bases y su medida es la semisuma de las medidas de las bases.

La demostración es casi igual que la anterior.

Primero se unen los puntos medios los lados no paralelos (Figura 1).

Figura 1

Al doblar por esa línea, llamada mediana del trapecio, se unen las dos bases, con lo que se demuestra que la mediana es paralela a las bases (Figura 2).

Figura 2

Por último basta doblar por las alturas de los dos triángulos que quedan a los lados del trapecio doblado y obtenemos un rectángulo (Figura 3).

Figura 3

El lado superior del rectángulo es la mediana y el inferior es la mitad de unir las dos bases del trapecio.

6. Teorema del triángulo órtico

El triángulo órtico es el formado por los tres pies de las alturas de un triángulo acutángulo cualquiera (Paso 1 y Paso 2).

El siguiente teorema se debe al matemático italiano Giovanni Francesco Fagnano (1715 – 1797): Las alturas de un triángulo son las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo órtico.

Como consecuencia del anterior, el ortocentro de un triángulo es el incentro de su triángulo órtico.

Los pasos a seguir son los siguientes:

1)    Se doblan en valle las tres alturas del triángulo.

2)    Se trazan en montaña las líneas que unen entre sí los tres pies de esas alturas. Con eso tenemos el triángulo órtico.

3)    Para comprobar el teorema, basta que uno de los últimos dobleces se mantenga hacia atrás.

4)    A continuación doblamos por una de las alturas, que no partan del vértice doblado, y se comprueba que los dos lados del triángulo órtico coinciden, con lo que se demuestra que la altura original es la bisectriz del nuevo triángulo.

Fagnano también demostró que el triángulo órtico es el de menor perímetro de un triángulo cuyos vértices estén en los tres lados de un triángulo acutángulo cualquiera.

7. Teorema de las medianas de un triángulo

Si por los pies de las medianas de un triángulo cualquiera se trazan paralelas a las otras dos medianas, se consigue un hexágono formado por seis triángulos cuyos lados son la tercera parte que la mediana paralela al lado.

Los pasos a seguir son los siguientes:

Partimos de un triángulo cualquiera, aunque es más manejable si no es obtusángulo.

1)    Se trazan las tres medianas del triángulo.

2)    Para trazar las paralelas desde los pies de las medianas, lo mejor es doblar una mediana sobre si misma hasta que observemos el pie de otra de las medianas. De esta manera estamos señalando la perpendicular a la mediana desde el pie de la otra mediana.

3)    Marcamos sólo el doblez alrededor de la mediana doblada.

4)    Llevamos el pie de la mediana al doblez que hemos marcado en el punto anterior.

5)    Ahora debemos marcar una paralela a la mediana. Para ello doblamos, en montaña (hacia atrás) para verlo mejor, por la mediana a la que queremos hallar la paralela. Se marca sólo el segmento entre el pie de la mediana y la mediana más cercana. Los dos puntos rojos de la imagen.

6)    Al desdoblar, ya podemos observar el primer lado del hexágono.

7)    Basta repetir el proceso con las restantes medianas y pies para obtener el hexágono indicado.

8)    Para ver que los lados de los triángulos que forman el hexágono, son la tercera parte de la mediana, basta ver que los puntos señalados dividen a la mediana en tres partes iguales, ya que las demás líneas son paralelas a las medianas. Para ello basta doblar por el vértice interior del hexágono y por su punto central para comprobarlo. Para que sea más fácil, una parte se dobla en valle y la otra en montaña.

8. Referencias

Teorema de la mediana de un trapecio: https://www.youtube.com/watch?v=S532agChCGg

Teorema de Pitágoras: https://www.youtube.com/watch?v=z6lL83wl31E

Enlaces revisados el día 27/05/2018.