Conceptos de Matemáticas

Objetivo:
Los alumnos descubrirán por qué la forma de una colmena de abejas se basa en la geometría del almacenaje más denso de esferas en tres dimensiones.

Requisitos previos
Conocimiento de polígonos básicos (“Figuras geométricas”) y saber definir figuras bidimensionales y tridimensionales (“Figuras bidimensionales y tridimensionales”). Saber construir  sólidos geométricos y conocer sus nombres (“Sólidos platónicos I”, “Sólidos platónicos II” y “Estrellas bidimensionales y tridimensionales”).

Tiempo necesario
Dos clases de 45-60 minutos.

Materiales
Tres Kits Creador o Dos Kits Creador junto a dos bolsas de varillas amarillas
Monedas, unos 50 céntimos por equipo
Pelotas de ping pong, unas 10 por equipo
Cartulinas con rombos para recortar (ver la sección de Materiales)
Tijeras y cinta adhesiva para cada equipo
Pegamento
Un panal de abejas real (una por equipo si es posible)

Procedimiento
Comenzad hablando de las colmenas de las abejas. ¿Con qué forma hacen las abejas sus colmenas? ¿Sabe alguien por qué todas las abejas hacen las colmenas con la misma forma? Inicia un debate sobre la eficiencia de la naturaleza y sus estructuras. ¿Hay algún ejemplo en que la naturaleza malgaste energía complicando una estructura, camino o tarea? Deja que los estudiantes den todos los ejemplos que se les ocurra donde la naturaleza conserve la energía y maximice su eficiencia. Si no se les ocurre ninguno, puedes sugerir: las superficies de las burbujas, la formación de semillas, los animales que hibernan en invierno, el flujo de un río, la formación de cristales en rocas y minerales y las largas orejas de los conejos como controladores de la temperatura.
¿Cuál es el propósito de la colmena? El propósito es doble: la colmena sirve como sala incubadora de las abejas obreras, además de cómo almacén de miel, que es su comida durante el invierno. Así que tiene sentido que las abejas quieran el mayor número de depósitos en un determinado espacio.
¿Qué espacio cumplirá estos dos propósitos? ¿Cuántas otras celdas deben tocar cada celda? ¿Cómo se podría averiguar? Reparte los céntimos entre los grupos y déjales probar con diferentes combinaciones. ¿Cuál es el mayor número que pueden tocarse sin superponerse? ¿Cuál es el menor? ¿Cuál es la mejor forma para que encajen el mayor número de céntimos, sin que se superpongan?  ¿Cómo podemos dibujar líneas para quitar los huecos entre los céntimos? Cuando los grupos hayan encontrado la mejor estructura, deben hacer una copia con varillas azules del Sistema Zome. Se llama estructura hexagonal compacta.
Las abejas viven en tres dimensiones. Utiliza las pelotas de ping-pong y el pegamento para repetir los ejercicios. ¿De qué forma se puede conseguir que cada pelota toque el menor número posible del resto de pelotas? ¿Y qué toquen el máximo número de pelotas?Moviéndote en tres dimensiones, cuenta las pelotas que se tocan (vecinos más próximos). Una manera de lograrlo es empezando con una pelota y ver cuántas esferas pueden pegarse a la pelota central. Otra forma es pegar juntas el conjunto con más pelotas en dos dimensiones, apilar encima otro grupo de pelotas y pegarlo, y cuando se seque el pegamento, pegar otra capa por debajo. Cada grupo debe crear el conjunto con más pelotas pegadas.
¿Cómo podemos aplicar la estructura hexagonal del modelo con céntimos a la versión tridimensional? En lugar de líneas de paso a través de los puntos de contacto entre los céntimos, pasa un plano a través de los puntos de contacto entre las pelotas de ping-pong.
¿A qué se parecerá? ¿Podéis describir la figura que se formará? ¿Cómo podemos verlo? Si la clase no puede visualizar las figuras, déjales que utilicen las cartulinas con los rombos encima. Recorta las figuras y encájalas. Esta figura tendrá 12 caras que son rombos idénticos. Se llama rhombic dodecahedron/ rombododecaedro. Esta figura puede rellenar espacios con copias de ella misma. Pide a cada grupo que construya un rombododecaedro con el Sistema Zome. ¿Qué relación tiene con la colmena?
Divide la colmena en trozos, uno para cada grupo y repártelos. ¿A qué se parece la parte de abajo? ¿Qué hay al otro lado? ¿Una colmena está formada sólo por hexágonos? Comentad cómo la base de la colmena está dividida en 3 rombos iguales, que se juntan en ángulo. Compáralo con el rombododecaedro. ¿En qué se parecen? El rombo tiene las diagonales en proporción 1:2 ¿Cómo podemos hacer una figura de un panal de abejas con el Sistema Zome? ¿Cómo podemos cambiar el rombododecaedro para que parezca una colmena? Deja tiempo a los grupos para que averigüen que deben utilizar las varillas amarillas cortas y las largas para construir rombododecaedros alargados para formar una columna hexagonal con grupos de tres de rombos. Deben quitar uno de los grupos en una de las terminaciones. Algunas de estas columnas pueden juntarse para construir un panal.
¿Cómo podemos construir el otro lado? Mirad la colmena real para ver cómo dos columnas, cada una a un lado, encajan juntas en la base. ¿Cómo podemos encajarlas en el otro lado? ¿Cómo se compara la posición de las columnas de un lado con la posición al otro lado? ¿Cómo se relacionan? ¿Cuántas cámaras de abejas encajan en un cubo dentro de una colmena real? Termina la lección con un breve repaso de la efectividad de la colmena como sistema de almacenaje en tres dimensiones.

Evaluación
Haz preguntas a los alumnos mientras trabajan y revisa sus cuadernos. Para alcanzar los objetivos mínimos de la lección, los alumnos deben averiguar qué figuras serán las mejores como almacén en dos y tres dimensiones. Superan ampliamente los contenidos mínimos si saben construir un panal con el Sistema Zome y explicar por qué esta estructura responde a las necesidades de las abejas.

Estándares del NCTM
Estándares de Ciencias: Estructuras biológicas, el uso de la energía en la naturaleza y comportamiento animal.
Ampliación de resolución de problemas (Estándar NCTM 1).
Estudio de la geometría de dos y tres dimensiones (Estándar NCTM 7)

Posibilidades de ampliación
Más trabajo con figuras de poliedros (“Sólidos arquimedianos” y construcciones 4, 5, 6 y 8 del Manual del Sistema Zome).