Conceptos de Matemáticas y Filosofía

Objetivo:
Los alumnos estudiarán los sólidos semiregulares o arquimedianos. Averiguarán cuántos sólidos existen, cuáles de ellos pueden construirse con el Sistema Zome y se encargarán de construir uno de ellos.

Requisitos previos
Conocimiento de polígonos básicos (“Figuras geométricas”) y saber definir figuras bidimensionales y tridimensionales (“Figuras bidimensionales y tridimensionales”). Experiencia previa en la construcción de sólidos geométricos (“Sólidos platónicos I”, “Sólidos platónicos II” y “Estrellas bidimensionales y tridimensionales”).

Tiempo necesario
Dos clases de 45-60 minutos.

Materiales
Dos o tres Kits Creador para 25-30 alumnos o dos kits Creador más un paquete extra de varillas azules.
4 o 6 paquetes de varillas verdes del Sistema Zome si es posible.
Polígonos de cartulina de la sección de “Materiales”
Unas tijeras por equipo
Un rollo de cinta adhesiva por equipo

Procedimiento
Prepara la clase construyendo unos cuantos polígonos regulares de papel. Una forma fácil de hacerlo es ampliando las figuras de la sección de “Materiales” al 200% o 300% y recortándolas. Para poder trabajar con ellas es mejor si se copian o se pegan sobre una cartulina.
Comienza la clase con un breve repaso de los poliedros. ¿Los poliedros están siempre formados por polígonos? ¿Cómo se llaman los poliedros? ¿Qué es un poliedro regular o un sólido platónico? (Figuras convexas con todas las caras, las aristas y los ángulos iguales) ¿Cuántos existen? (5) ¿Qué polígonos los forman? ¿Cómo se llaman? En esta lección los alumnos trabajarán con otro tipo de poliedros llamados semirregulares, o sólidos arquimedianos. ¿Por qué les llamamos semirregulares? (Se componen de más de un polígono regular y tienen vértices iguales)
Divide la clase en grupos de 3-4 alumnos y reparte entre ellos las piezas del Sistema Zome, las tijeras, la cinta y los polígonos de cartulina. Su tarea es averiguar cuántos poliedros semirregulares existen utilizando los polígonos de cartulina y el Sistema Zome. ¿Cómo podemos averiguar cuántos sólidos de ese tipo existen? ¿Es un número finito o infinito? Pide a los alumnos que anoten en sus cuadernos las respuestas. Comentad las distintas estrategias que propongan los alumnos.

Vértices posibles con varillas azules
1 pentágono,  2 hexágonos
2 pentágonos, 2 triángulos
2 decágonos, 1 triángulo
2 pentágonos, 2 triángulos
1 pentágono, 2 cuadrados, 1 triángulo

Vértices posibles con varillas verdes
2 hexágonos, 1 triángulo
2 cuadrados, 2 triángulos
3 cuadrados, 1 triángulo
2 hexágonos, 1 cuadrado
1 octógono, 1 cuadrado, 1 hexágono
1 pentágono, 4 triángulos

Vértices imposibles de construir con el Sistema Zome
1 cuadrado, 4 triángulos
1 pentágono, 4 triángulos

Una posible estrategia es decidir primero de cuántas formas pueden encajarse los polígonos para crear un vértice del poliedro. Los alumnos deben tener en cuenta que los vértices/sólidos formados por polígonos iguales constituyen los 5 sólidos platónicos o sólidos regulares. Para ser un vértice “válido” la suma de los ángulos formados por las caras debe ser menor que 360º. Los equipos deben construir tantos vértices como puedan utilizando el Sistema Zome. Pueden utilizar también los polígonos de cartulina pegándolos. Deja 25-30 minutos para que construyan las figuras. Los alumnos deben tomar notas en sus cuadernos.
Estudiad entre todos los vértices. ¿Cuántos de los 13 posibles sólidos han encontrado los alumnos? ¿Cuántos se han podido construir con las varillas azules? ¿Cuántos han necesitado las varillas verdes? Los 13 sólidos se muestran en la tabla de la derecha. Seis de los vértices, y sus correspondientes sólidos, necesitan varillas verdes. Dos de los sólidos no pueden construirse con el Sistema Zome y deben construirse con los polígonos de cartulina.
La siguiente tarea de los equipos es elegir uno de los vértices que pueden construirse con el Sistema Zome y formar el sólido entero. Pueden aprenderse el nombre y la composición del sólido y enseñárselo al resto de la clase. La tabla de más abajo puede escribirse en la pizarra o dársela en papel a los alumnos. ¿Qué podemos decir sobre el número de los distintos polígonos de los sólidos? ¿Qué números se repiten? ¿Cómo se relacionan los números de los distintos polígonos con los sólidos platónicos?
Los sólidos de la lista fueron descritos por el matemático y filósofo griego Arquímedes (287-212 a.C.). Los sólidos arquimedianos no son habituales en la naturaleza, aunque la molécula del carbono 60 tiene forma del icosaedro truncado.  Robert Curl y Richard Smalleyde la Universidad Rice de Texas, junto a  Harold Kroto de la Universidad de Sussex de Inglaterra, fueron galardonados con el premio Nobel de Química en 1996 por el descubrimiento de esta molécula
Como ejercicio de ampliación puede comprobarse la fórmula de Euler en todas las figuras construidas por los alumnos.

Evaluación
Observa a los alumnos mientras construyen las figuras y toman nota de sus descubrimientos. Revisa sus cuadernos. Para alcanzar los objetivos de la lección, los alumnos deben construir al menos 5 de los vértices utilizando el Sistema Zome o los polígonos de cartulina. Superan ampliamente el objetivo si identifican las 13 posibilidades y averiguan cuántas pueden construirse con el Sistema Zome.

Estándares del NCTM
Estudio de la geometría de dimensión 1, 2 y 3 en distintas situaciones (Estándar NCTM 12)

Posibilidades de ampliación
Seguir trabajando en las figuras de los poliedros (construcciones 4, 5, 6 y 8 del Manual del Sistema Zome). Más trabajo con mosaicos tridimensionales (“Teselas tridimensionales” y “La ciudad colmena”).