3.2. Espiral Logarítmica

La espiral logarítmica

Si observamos la concha de este nautilius es fácil comprobar que no estamos ante una espiral de Arquímedes. ¿Cuál es la primera diferencia que salta a la vista? Efectivamente, según nos vamos alejando del centro, la espira se va haciendo cada vez más ancha. Y este aumento de la anchura se produce de una manera continua y uniforme.

Esta espiral, muy similar aunque no exactamente igual a la espiral de Durero, es la que más se prodiga en la Naturaleza.

¿Por qué el nautilus tiene esta extraña y elegante forma?

Si damos un corte transversal a la concha veremos que está formada por compartimentos separados por tabiques y comunicados por un sifón. El animal ocupa el compartimentomás externo, que es de mayor tamaño .Al ir creciendo el molusco abandona el compartimento anterior y crea uno con la misma forma pero más grande.

Su borde exterior describe una curva que es siempre igual a sí misma. Es una espiral logarítmica o equiangular.

El origen del estudio de esta espiral tiene que ver con la navegación. A lo largo de los siglos XVI y XVII miles de barcos surcan los océanos. Los navegantes sabían que sobre la superficie terrestre la distancia más corta entre dos puntos es un arco de círculo máximo. Pero para seguir un rumbo que encaje con este arco es necesario realizar continuos cambios de rumbo. Por ello sustituían este rumbo óptimo por otro en el ángulo que formaba la trayectoria del barco con todos los meridianos que atravesaba se mantenía constante. El rumbo se mantenía constante.
Los rumbos de este tipo dibujan en la esfera terrestre una curva llamada loxodrómica. Pero los navegantes no trabajaban sobre una esfera, sus mapas eran planos, proyecciones de la esfera. Pues bien la proyección de la esfera sobre un plano convierte a la loxodrómica en una... espiral equiangular.

Matemáticamente, incluyéndola en la categoría de curvas mecánicas, es decir aquellas cuya ecuación no es un polinomio, fue descrita por primera vez por Descartes, que en 1638 comunicó a Mersenne sus investigaciones sobre esta curva.

Estaba buscando una curva creciente con una propiedad similar a la de la circunferencia, que la tangente en cada punto corte la radio vector siempre con el mismo ángulo. De ahí el nombre de equiangular.

Descartes también demostró que esta condición es equivalente al hecho de que los ángulos alrededor del polo son proporcionales al logaritmo del radio vector.

De ahí su segundo nombre: espiral logarítmica.

Aunque este nombre se lo debemos a Jacob Bernouilli, que la estudio en profundidad quedando cautivado por esta espiral hasta el punto de dejar escrito en su testamento que en su lápida debería figurar una espiral logarítmica con la inscripción "Eadem mutata resurgo" - Resurjo cambiada pero igual -.

En el cementerio de matemáticos de Basilea puede verse su tumba con una espiral, que por ironía de la historia, y por ignorancia del cantero que la realizó, resulta ser una espiral arquimediana

La separación de las espiras aumenta al crecer el ángulo, es decir, el radio vector crece de forma exponencial respecto del ángulo de giro. Por eso recibe un tercer nombre, espiral geométrica.

Su ecuación es de la forma: , donde r es el radio de posición, C una constante, k otra constante y theta el ángulo de giro.

Si expresamos esta ecuación en forma logarítmica obtendríamos: 

El ángulo es proporcional al logaritmo del radio.

Decididamente cuesta trabajo a la hora de decidirse por uno de los tres nombres de la espiral. Cada uno de ellos la define matemáticamente de forma precisa, mediante una de sus propiedades.

Se construye trazando sucesivos triángulos rectángulos semejantes, de tal forma que la hipotenusa de uno es un cateto del siguiente; y uniendo los vértices consecutivos. Esta construcción se basa en una propiedad ya descubierta por Bernuilli: mientras el ángulo de giro crece en progresión aritmética - sumando siempre la misma cantidad - , el radio correspondiente crece en progresión geométrica - multiplicando siempre el radio anterior por un mismo número -

Jacob Bernouilli descubrió varias propiedades de esta curva que les pasaron desapercibidas a Descartes y Torricelli, entre ellas el hecho de que la espiral logarítmica es la única curva que verifica que su evoluta, su involuta, su caústica y su podaria son, a su vez, una espiral logarítmica.

Nos explicamos ahora el "Eadem mutata resurgo" atribuido por el bueno de Jacob Bernouilli a esta espiral: aunque me cambien, es decir si trazan mi evoluta, mi involuta, mi caústica de reflexión o de refracción... siempre volveré a aparecer semejante a mí misma.

Jacob Bernouilli había descubierto además otra extraña propiedad, la autosemejanza, que relaciona directamente esta espiral con los objetos fractales.

Profundizando en el conjunto de Mandelbrot, uno de los objetos fractales más populares. Investigar el sinfin de formas y estructuras que contiene sería un trabajo complejo.

Si en este conjunto se realizan sucesivas ampliaciones sobre una de sus partes no es díficil encontrar sugerentes estructuras de espirales logarítmicas.

Se puede seguir ampliando y en todos los niveles nos volverán a sorprender. No es tan extraño, la autosemejanza controla las formas fractales, lo mismo que la espiral logarítmica.

La propia construcción de esta espiral nos sugiere el motivo de su abundante presencia como forma que rige el crecimiento de numerosos organismos vivos. Las dos ideas que inspiran este crecimiento son las de rotación más dilatación. Crecimiento aditivo autosemajante con enrollamiento.

Nos explicamos ahora por qué las conchas de muchos caracoles vistas frontalmente forman espirales logarítmicas: al fin y al cabo no les queda más remedio que crecer siendo siempre iguales a sí mismos.

Pero es el reino vegetal el que nos muestra los ejemplos más generosos de este tipo de espirales. Las espirales que hemos visto en los girasoles, las margaritas y muchas otras flores, las piñas... son espirales equiangulares o logarítmicas.