3. Espirales en Matemáticas

Espirales en la historia de las Matemáticas

"Había más imaginación en la cabeza de Arquímedes que en la de Homero"
Voltaire

Uno de los objetivos fundamentales de las Matemáticas a lo largo de la historia ha sido y continúa siendo interpretar el mundo que nos rodea. Decía Galileo:

"El Universo es un libro escrito en el lenguaje de las matemáticas, siendo sus caracteres triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible comprender una sola palabra; sin ellos sólo se conseguirá vagar por un obscuro laberinto"

Mucho antes de que Galileo Galilei expresara de manera tan rotunda una de las funciones de las matemáticas, muchos sabios se habían puesto a la tarea de explicar los fenómenos naturales bajo la luz de la razón, con la poderosa herramienta de las matemáticas.

Y ante las innumerables manifestaciones naturales de las espirales, tanto de carácter orgánico como mecánico, estas curvas no podía dejar de llamar la atención de los matemáticos y ser objeto de su investigación. Sin ambargo, como su propia forma sugiere son curvas esquivas. No son curvas geométricas estáticas como la circunferencia, las cónicas o las lúnulas. Para construirlas se necesitan recursos mecánicos, algo que crece o que se mueve.

Pero, ¿qué es una espiral? La definición "matemática" sería esta:

"son curvas planas que comienzan en un punto y cuya curvatura va disminuyendo progresivamente a medida que aumenta su radio de curvatura."

Si esta definición la ampliamos al espacio obtendremos unas curvas espaciales parientes de las espirales, las hélices cónicas.

La forma en se produzca ese cambio de curvatura y ese incremento del radio de curvatura nos colocará ante diferentes tipos de espirales. En el fondo dos son los parámetros que van a definir una espiral su radio en cada punto, la distancia al origen, y el ángulo girado hasta llegar a ese punto.

La historia de las espirales dentro del mundo matemático ha sido, paradógicamengte una historia a saltos.

La espiral uniforme o de Arquímedes:

El primer paso de su estudio se remonta al siglo III a. de C. y su protagonista es el genial Arquímedes. Con métodos que se adelantan en varios milenios a sus contemporáneos realiza el primer estudio intensivo sobre la espiral más simple: la espiral uniforme.

La dificultad de construirla de manera exacta, junto al hecho de no poder construirse con regla y compás hizo que los sabios griegos no le dedicasen toda la atención que se merecen. Aunque como en todo hay sus excepciones. Estas excepciones las constituyen Conón de Samos y sobre todo Arquímedes de Siracusa (287-212 a. C.).

Sin duda, al menos desde un punto de vista matemático, la más simple es aquella en que el radio varía de forma proporcional al ángulo girado. Y a esta es a la que dedicó su atención Arquímedes, a la espiral uniforme, que desde entonces lleva su nombre. La espiral arquimediana.

De Arquímedes se conocen dos libros sobre la geometría plana, uno dedicado a la circunferencia, De la medida del círculo, donde nos proporciona el salto a la fama del número pi y una de sus aproximaciones más usadas hasta nuestro días; y otro dedicado a la espiral uniforme, De las espirales. Un libro complicado y de lectura difícil, donde Arquímedes hace un profundo estudio exhaustivo de la espiral uniforme.

En él demuestra las propiedades de las áreas de las diferentes espiras, utiliza la espiral para calcular la longitud de un arco de circunferencia, para cuadrar el círculo y para dividir un ángulo en tres partes iguales. Una curva que le permitió atacar dos de los tres problemas clásicos: la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo. Por desgracia para Arquímedes, los griegos exigían la resolución utilizando sólo regla y compás... y su curva, la espiral uniforme no se puede construir sólo con esos instrumentos.

Las espirales de Durero

Hay que esperar más de 18 siglos para que, esta vez un artista con grandes dotes matemáticas, Alberto Durero, en 1525, nos proporcione los métodos para dibujar otro tipo más complejo de espirales, las espirales basadas en el crecimiento gnómico, es decir, las que se obtienen la encajar de forma recurrente, figuras geométricas semejantes y unir sus vértices. especial atención le van a merecer las espirales relacionadas con la sucesión de Fibonacci y con el número áureo.

A pesar de su gran amor por las matemáticas, como muestra en su cuadro Melancolía, plagado de metáforas matemáticas, Durero es fundamentalmente un pintor. Por eso su obra Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas, no realiza un estudio teórico de las espirales y se limita a dar preceptos para su construcción.

La influencia del mudo helénico, de la que Durero está impregando, le impone una nueva restricción: la utilización exclusiva de la regla y el compás. Por ello, se va a limitar a investigar la representación aproximada de la espiral no uniforme mediante arcos de circunferencias.

La espiral logarítmica o de Bernouilli

Pero es más de un siglo más tarde, con la aparición y el desarrollo del cálculo diferencial e integral de Newton y Leibniz, cuando el estudio de las curvas va a alcanzar su momento de gloria. Y dentro de estas curvas una muy especial y al mismo tiempo muy habitual en la naturaleza: la espiral equiangular, logarítmica o geométrica.

Aunque Descartes y Torricelli habían iniciado su estudio, les faltaba la potente herramienta del cálculo para poder rematarlo. Este honor la va corresponder a Jacob Bernouilli en los albores del siglo XVIII.

René Descartes(1596-1648), un año después de la publicación de La Géométrie, se va encontrar con la curva mecánica que responde al problema planteado por Galileo sobre la trayectoria de caída de un cuerpo a través de una tierra en rotación. Esta trayectoria le llevó a Descartes hasta la espiral equiangular o logarítmica.

Su ecuación es de la forma donde a y b son constantes y e es el número e = 2, 71828182..., r el radio de posición de un punto y theta el ángulo girado.

Es decir, el radio de posición en un punto no depende de forma lineal, uniformemente, del ángulo girado. Su dependencia es exponencial. Según vayamos girando alrededor del origen la curva se va ir alejando del origen de forma cada vez más rápida.
Fue Torricelli, utilizando métodos semejantes a Arquímedes, quien primero logró calcular su longitud.
Pero, sin duda, al matemático al que cautivó el estudio de esta espiral fue a Jacob Bernouilli (1654-1705) , que la bautizó con el nombre de Spira Mirabilis, espiral maravillosa, título de su obra dedicada a esta espiral.