Conceptos de Matemáticas

Objetivo:
Los alumnos aprenderán que la combinación de la simetría rotacional y la simetría traslacional puede generar simetría espiral en 3 dimensiones.

Requisitos previos
Saber diferenciar entre los distintos tipos de simetría (“¿Qué es la simetría?”, “Simetrías múltiples”, “Simetría rotacional”, “Simetría traslacional en mosaicos”, “Mosaicos con simetría múltiple”, “Mosaicos”, “Teselas triangulares I” y “Teselas triangulares II”)

Tiempo necesario
Una clase de 45-60 minutos.

Materiales
Dos Kits Creador del Sistema Zome para 25-30 alumnos.
Objetos o dibujos de objetos con forma de espiral.

Procedimiento
Prepara la clase construyendo una espiral con el Sistema Zome mediante 10 varillas rojas pequeñas en línea. En cada nodo de la línea inserta una varilla azul pequeña formando un ángulo de 90º. Cada una de estas varillas azules debe rotarse 36º respecto a la varilla azul anterior. Se formará así una espiral alrededor de la línea roja. El último nodo puede tener cinco varillas azules con el mismo espacio entre ellas para formar una base.
Explica a la clase que van a seguir trabajando los conceptos de simetría. Enséñales la figura de la espiral descrito anteriormente y comentadla entre todos. ¿Cómo se llama esta figura? (Espiral) ¿Dónde encontramos esta forma en la naturaleza? ¿Y en arquitectura, publicidad u objetos hechos por el hombre? Los ejemplos pueden incluir una molécula de ADN, un remolino de agua, las astas curvadas de un animal, conchas de mar, enredaderas, escaleras de caracol, caramelos, un muelle, un tornillo, etc. Si es posible, deja que los alumnos observen objetos o imágenes de objetos con forma de espiral. ¿Por qué hay espirales en la naturaleza? ¿Por qué nos resultan útiles? ¿Por qué elegiríamos una escalera de caracol antes que una escalera recta? ¿Por qué un tornillo tiene una espiral?
Divide la clase en grupos de 3-4 alumnos y reparte entre ellos las piezas del Sistema Zome. Su primera tarea consiste en construir una copia de tu figura o hacer su propia espiral. Mientras la estén construyendo, deben comentar qué tipo o tipos de simetría presenta la espiral, si es que lo hace. Deben tomar notas de su trabajo. Deja 15-20 minutos para que los alumnos trabajen. Mientras tanto pasea entre las mesas y ayúdales cuando sea necesario.
Los alumnos deben presentar sus figuras al resto de la clase. ¿Qué tipo de simetría presenta la figura? ¿Presenta una combinación de más de una simetría? Comentad entre todos las figuras hasta que los alumnos se den cuenta de que son necesarias las dos simetrías, la traslacional y la rotacional, para generar la simetría espiral. Por ejemplo, en la figura que has preparado, cada nueva posición de la espiral se genera por la traslación a lo largo de la varilla roja corta seguida por la rotación de 36º a lo largo del eje. Compara esta combinación de simetrías con aquellas que pueden encontrarse en mosaicos (“Mosaicos con simetría múltiple”). Acaba la clase pidiendo a cada estudiante que escriba una definición de simetría espiral, incluyendo una descripción de las simetrías que presenta la figura construida durante la clase.

Evaluación
Observa a los equipos mientras trabajan y revisa sus cuadernos. Alcanzan el objetivo de la lección si construyen una espiral y muestran que es simétrica. Superan ampliamente el objetivo si escriben una definición correcta de la simetría espiral.

Estándares del NCTM
El estudio de la geometría de dimensión 1, 2 y 3 en distintas situaciones (Estándar NCTM 12)

Posibilidades de ampliación
Más trabajo con simetrías y espirales de dos y tres dimensiones (“Encontrando a Phi”). Comentar el uso de las espirales en arquitectura, diseño, ingeniería, biología, etc.