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 Se conoce con el nombre de triángulo de Pascal a una disposición de números en forma de triángulo, construida de forma que cada elemento es la suma de los dos inmediatamente superiores a él, donde inicialmente se coloca el número uno en los lados exteriores. Las primeras filas del triángulo de Pascal son:
| 1 |
| 1 1 |
| 1 2 1 |
| 1 3 3 1 |
| 1 4 6 4 1 |
El primer tratado dedicado a este triángulo es el titulado "Traité du triangle arithmétique" escrito por Blaise Pascal en 1653. Sin embargo, se han encontrado pruebas de que ya era conocido por el poeta y filósofo Omar Khayyam alrededor del año 1100, probablemente de fuentes indias o chinas.
Entre la multitud de propiedades curiosas y hasta sorprendentes que se han ido descubriendo a lo largo del tiempo, no podían faltar los trucos de magia. El que describimos a continuación es uno de los clásicos en magia matemática. Te enseñaré a realizar una predicción basada en el hecho de que cada fila del triángulo de Pascal contiene los números combinatorios, o coeficientes del desarrollo del binomio de Newton.
- Busca una baraja francesa y retira las figuras y los dieces.
- Entrega la baraja a un espectador y pídele que coloque cinco cartas en una fila sobre la mesa, caras arriba.
Para seguir mejor el desarrollo del juego, lo describiremos con un ejemplo: supongamos que las cartas elegidas por el espectador son
- Realiza secretamente la siguiente operación: suma los valores de la primera y última carta; multiplica por cuatro la suma de los valores de la segunda y la penúltima cartas; multiplica por 6 la carta central; por último suma todos estos resultados y calcula el resto de la división de este número por 9 (lo que equivale a sumar las cifras del resultado final). En nuestro ejemplo sería
2 + 9 + 4 · (6 + +5) + 6 · 2 = 67, cuyo resto al dividir por 9 da 4.Busca en la baraja un cuatro, digamos de corazones, y colócalo cara abajo en la mesa en una posición como la que se indica en la figura:
- Pide al espectador que construya un triángulo de cartas, de la siguiente forma: en una fila superior, por cada par de cartas colocará una carta cuyo valor sea la suma de las dos cartas inmediatamente inferiores. Si la suma es mayor que 9, se restará este número.
En nuestro ejemplo, una posible configuración de la segunda fila (donde sólo pueden variar los palos escogidos) es la siguiente:
- El espectador sigue colocando cartas en las filas superiores, utilizando el mismo procedimiento.
- Cuando haya llegado al vértice del triángulo, pide al público que descubra la carta oculta para comprobar que su valor corresponde a la suma de las dos últimas cartas colocadas por el espectador.
Siguiendo con nuestro ejemplo, el espectador colocaría las siguientes cartas:
Como la suma de los valores de las dos últimas cartas es 13 y la suma de sus cifras es cuatro, la carta que debería estar en la fila superior es un cuatro. Dicha carta estaba ya colocada desde el principio en ese lugar.
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A la vista del triángulo de Pascal, la explicación es simple: el valor de cada carta debe multiplicarse por el valor correspondiente al lugar que ocupa en el triángulo de Pascal: para el caso de cinco cartas, los valores correspondientes en el triángulo de Pascal son precisamente 1 - 4 - 6 - 4 - 1, por lo que la operación a realizar es a1 + 4 a2 + 6 a3 + 4 a4 + a5.
Se observa fácilmente que el juego puede realizarse con más cartas. Gracias a que se utilizan los restos módulo nueve, en el caso de seis cartas, como el triángulo de Pascal está formado por los números 1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1, equivalente a 1 - 5 - 1 - 1 - 5 - 1, la carta del vértice superior se obtiene mediante la suma a1 + 5 a2 + a3 + a4 + 5 a5 + a6.
Si en algún momento, no hay cartas que correspondan al valor que se necesita, se pueden retirar las de las filas inferiores, que ya no se utilizan.
Otra observación: el juego puede realizarse con números en vez de cartas. Cuando un espectador haya escrito cinco números en fila puedes escribir secretamente el resultado final del proceso antes de que complete el triángulo.
Por último, un problema:
Escribe una sucesión de ceros y unos. Debajo de cada par consecutivo escribe un cero si los dos números son iguales, y un uno si son distintos. Repite el proceso hasta que te quede un único dígito en la sucesión. ¿Puedes predecir cuál va a ser el dígito final? Si conoces la respuesta, puedes realizar un juego de magia simulando los unos con cartas cara arriba y los ceros con cartas cara abajo (o viceversa).
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58. (Febrero 2009) La magia del triángulo de Pascal
