1. El momento de las Matemáticas

Las Matemáticas son a la vez una ciencia básica, el lenguaje en el que está escrito el universo, como decía Galileo Galilei, y también una disciplina que interacciona permanentemente con todos los demás ámbitos de nuestra sociedad. En efecto, la sociedad actual reposa cada vez más en la comprensión que las matemáticas aportan y que están en la base de la innovación en tecnología, ciencia, transporte, comunicaciones, etc. Por otra parte, las crecientes demandas de progreso exigen de un esfuerzo añadido en investigación matemática.

En este artículo presentamos un breve panorama de las matemáticas que se desarrollan en el campo del diseño óptimo, orientándonos al ámbito aeronáutico y haciendo especial énfasis en algunos de los problemas más relevantes aún por resolver, que tienen una motivación fuertemente tecnológica y a la vez un marcado acento matemático.

Las Matemáticas son una ciencia amplia, que abarca diferentes campos entre los que destaca la Matemática Aplicada, que tiene como uno de sus principales objetivos contribuir a la comprensión y al diseño de numerosos mecanismos y estructuras de gran importancia en nuestra vida diaria y en muy diversos ámbitos del I+D+i, haciéndolos más funcionales, más económicos, más respetuosos con el medio ambiente, más atractivos, etc. Este es el principal cometido de la disciplina del Diseño Óptimo a la que dedicamos esta artículo. Sus aplicaciones son muy variadas: Biotecnología y Biomedicina (sistema cardiovascular, el diseño de bypasses y fármacos), Física Cuántica (control laser en Mecánica Cuántica, diseño molecular, nanoestructuras, optoelectrónica), estructuras y edificios inteligentes (en particular, que resistan los temblores sísmicos), Ingeniería Química (reactores y columnas de destilación), medioambiente (descontaminación, diques, reducción del ruido, la barrera del Támesis), sistemas de comunicaciones e irrigación, prospección y extracción de recursos naturales, aeronáutica, automoción, robótica,...

En el ámbito de la aeronáutica, en el que nos centramos en este artículo, uno de los principales objetivos de las Matemáticas es contribuir al diseño de aeronaves más seguras, eficaces y respetuosas con el medio ambiente. Son ya muchos años de investigación matemática en este campo desde que los hermanos Wright, hace ahora algo más de un siglo, se convirtieran en los pioneros del aire. Pero es aún mucho lo que queda por hacer para ser capaces de realizar simulaciones numéricas lo bastante rápidas y eficaces que permitan desarrollar herramientas interactivas que sirvan a los diseñadores e ingenieros trabajar con un conocimiento fiable del rendimiento previsible de sus diseños en tiempo real. Las grandes empresas del sector y los más prestigiosos laboratorios científicos se afanan en este empeño, en el que las Matemáticas tienen mucho que aportar. A pesar de los importantes avances que se producen constantemente en la capacidad de cómputo de los modernos supercomputadores, un verdadero salto cualitativo en este campo sólo será posible si somos capaces de avanzar significativamente en algunos de los problemas matemáticos que describiremos en este artículo.

El reto es grande pero se confirma la oportunidad de la célebre frase de Isaac Newton según la cual “caminamos a hombros de gigantes”. En efecto, son las contribuciones de Euler y el propio Newton, entre otros, las que nos permiten entender el estado del arte y planificar la investigación futura.

2. Diseño óptimo en aeronáutica

En muchas disciplinas de ingeniería, y esencialmente en aeronáutica, el uso sistemático de los métodos matemáticos para simular y optimizar procesos tiene ya una larga tradición y resulta indispensable para ahorrar energía, reducir costes y polución y para aumentar la seguridad. Por ejemplo, no hay prototipo de nuevo automóvil de turismo que sea construido sin haber previamente recorrido millones de kilómetros en simulaciones por ordenador. A pesar de ello, aún a día de hoy, la simulación y optimización de una aeronave entera tiene un coste computacional prohibitivo.¹

Son varias las razones para que esto sea así y es por eso que ésta es un área en la que se continúa haciendo un esfuerzo investigador importante y en el que las Matemáticas tienen cada vez más protagonismo.

Desde un punto de vista matemático el problema se formula de la siguiente manera. El avión ocupa una región o dominio del espacio tridimensional, que denotamos mediante el símbolo W, en torno a la cual fluye el aire. Nótese que adoptamos un punto de vista más propio del de los ensayos en túneles de viento que en el vuelo real, en el que la nave está en movimiento mientras que en nuestro modelo matemático consideramos que la aeronave está fija y es el aire el que fluye en torno a la misma, lo cual nos permite trabajar en un sistema de coordenadas fijo.

Figura 1: Forma típica de una aeronave y simulación numérica bi-dimensional de las líneas de corriente del aire en torno a un ala.

En la práctica, se pretende determinar la forma de la aeronave que optimice algún criterio de interés industrial, comercial o medioambiental. Por ejemplo, que se maximice la sustentación de la aeronave o se minimice el consumo de combustible. Con el objeto de medir estas cantidades introducimos una función o funcional de coste² J(Ω), por ejemplo el consumo de combustible. Para simplificar un poco la presentación supongamos que buscamos un mínimo de J, lo cual es, además, un problema muy natural cuando hablamos del consumo de combustible. El problema consiste por tanto en buscar

o, lo que es lo mismo, construir o encontrar el dominio óptimo Ω*, dentro del conjunto de configuraciones geométricas admisibles C_ad, es decir, de las posibles formas geométricas de la aeronave, de modo que el funcional coste J alcance el valor mínimo posible.

Este tipo de problemas son ubicuos en muy diversos ámbitos de la actividad humana y son los que han dado lugar al desarrollo de campos tan importantes de las Matemáticas como el Cálculo de Variaciones o la Investigación Operativa. Este último se ocupa, en particular, de problemas de planificación en las que el gran número de parámetros hace imposible una solución basada en la mera intuición (planificación del funcionamiento de los semáforos de una gran ciudad, por ejemplo, o distribución de personal en una gran empresa, con diversos departamentos y turnos.)

Volviendo al caso de la aeronáutica que nos ocupa, una de las principales dificultades radica frecuentemente en la complejidad del funcional J, que depende del dominio Ω (la aeronave) de manera muy poco evidente, a través del campo de velocidades del fluido que lo rodea (el aire). Mediante el símbolo u = u(x, t) denotamos el campo de velocidades del aire en el exterior del recinto Ω ocupado por la aeronave.³

Es por eso que una de las piezas clave de la metodología matemática que aquí describimos es disponer de modelos fiables para el comportamiento del aire entorno al diseño Ω y métodos computacionales aproximados para su cálculo y previsión. Este es precisamente el papel de la Mecánica de Fluidos que proporciona diversos modelos que permiten identificar este campo de velocidades u a través de sistemas de Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) que describen el movimiento del aire en torno a la aeronave. Hay toda una jerarquía de tales modelos dependiendo de que consideremos un modelo tri-dimensional (3 − d) completo que evoluciona en el tiempo, estacionario (independiente del tiempo), que tengamos en cuenta los efectos de la viscosidad del aire o no, de la turbulencia que se genera en torno a la aeronave, que adoptemos un modelo reducido bi o uni-dimensional (2 − d o 1 − d), etc. Entre ellos cabe destacar las ecuaciones de Navier-Stokes, las de Euler, los modelos de turbulencia (Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS), el modelo de Spalart-Allmaras) y las ecuaciones de Burgers.

Como estamos viendo, todo esto es un proceso complejo en el que intervienen diferentes ingredientes de las más diversas áreas: Mecánica de Fluidos, Ecuaciones en Derivadas Parciales, Diseño óptimo, Geometría,... Sería materialmente imposible concluir con éxito este programa sin la ayuda del Análisis y la Simulación Numérica mediante los ordenadores más potentes. En este punto conviene también que tengamos en cuenta que, a pesar de que en cada uno de los pasos que debemos dar en el desarrollo de este ambicioso programa usemos los métodos computacionales más eficaces, el pequeño error computacional que cometamos en cada paso puede tener un efecto acumulado importante en el resultado final. Obviamente, en la práctica, el diseño óptimo nunca se alcanza, ni es imprescindible hacerlo pues una mejora significativa del diseño previo suele resultar rentable y suficiente. Ahora bien, sólo la combinación de las herramientas más punteras existentes y el diseño de nuevos métodos matemáticos y computacionales puede dar lugar a una mejora de los diseños ya existentes incluso si el objetivo final es la mejora de su rendimiento en un porcentaje aparentemente pequeño.

El punto de vista que adoptamos al abordar el diseño de las aeronaves desde las Matemáticas es aquél, según el cual, al alterarse la forma del dominio Ω en búsqueda del óptimo, se altera el flujo del fluido, el aire en este caso, a su alrededor. Es la interacción del dominio Ω que ocupa la aeronave con el aire la que determina el grado eficacia del diseño, a través del valor correspondiente del funcional de coste J, que normalmente está definido sobre la superficie exterior de la aeronave (lo que en Matemáticas se denomina frontera: ∂(Ω) y que mide cantidades físicas que afectan el rendimiento del avión, como la resistencia, la presión o la sustentación de dicha configuración.

3. Los métodos de descenso

La mayoría de los métodos computacionales que se desarrollan en el ámbito de la Matemática Aplicada son de carácter iterativo. Es el caso de los métodos de descenso que describimos en esta sección. El principio básico es tan sencillo y natural como eficaz y reposa en el hecho de que, si somos capaces de encontrar un método que mejore un diseño previo, aplicando este método de manera reiterada, deberíamos obtener diseños cada vez mejores, del mismo modo que la práctica constante en cualquier actividad nos permite mejorar el rendimiento.

Figura 2: Izquierda: Superficie de un paraboloide cuyo mínimo está bien identificado y que un método de descenso encuentra con facilidad. Derecha: Superficie más compleja en la que los métodos de descenso corren el riesgo de no converger.

Veamos cómo podemos diseñar un método iterativo que pueda ser de utilización sistemática en la minimización de funcionales y por tanto en diseño óptimo.

En aquellos casos en que el funcional es convexo⁴ (tal y como se muestra en la izquierda de la Figura 2), es relativamente fácil calcular su mínimo a través de un método iterativo de descenso que lo que hace es reproducir algorítmicamente la trayectoria que una canica en el interior de la superficie seguiría hasta caer en el punto de mínimo por efecto de la gravedad, o la que adoptaríamos para descender una ladera lo más rápido posible.

Desafortunadamente, en las aplicaciones aeronáuticas que nos ocupan, a causa de la compleja dependencia del funcional con respecto al dominio a través de las ecuaciones de la Mecánica de Fluidos antes mencionadas, no podemos asegurar que se tenga la forma convexa que tanto conviene a los métodos iterativos de minimización (véase la Figura 2, derecha). ⁵ Pero, en la práctica, a pesar de no poder garantizar que estemos en una configuración en la que el mínimo del funcional existe, este hecho no es un obstáculo para seguir aplicando la metodología que estamos presentando, puesto que, como habíamos visto anteriormente, lo que realmente se busca en una aplicación, es una nueva configuración que mejore la anterior.

Recordemos brevemente el algoritmo iterativo del método de gradiente, también denominado, muy elocuentemente, de máxima pendiente o “steepest descent” que reproduce precisamente la dinámica de la canica sometida a la fuerza de la gravedad a la que antes hacíamos alusión. ⁶ El método consiste en, a partir de un diseño inicial de arrancada Ω₀, producir la sucesión de diseños Ω_k, a medida que avanzamos en el valor del índice entero k = 0, 1, 2, 3, ..., de modo que, en cada paso, deforme el dominio previo Ω_k en la dirección de máximo descenso del funcional J, con un paso de avance de amplitud fija ρ > 0, para obtener el nuevo dominio Ω_k+1. ⁷ Hay otras versiones y variantes de este método de máximo descenso como el método de gradiente conjugado, el de Newton, etc. que son más eficaces pero que están inspirados en el mismo tipo de ideas y que, en definitiva, producen una sucesión que aproxima el mínimo que supone una variante de la anterior.

La aplicación de los métodos iterativos, tal y como el método del gradiente, necesitan, en cada paso de la iteración, calcular el gradiente del funcional a minimizar que representa la sensibilidad del funcional con respecto a cada uno de los parámetros de diseño. Es un principio fundamental que una buena estrategia de optimización ha de estar basada en una buena comprensión del funcional a minimizar, lo mismo que el pilotaje de un vehículo con destreza exige un buen conocimiento de la respuesta del mismo al accionamiento de los diversos mandos que lo regulan. El gradiente codifica precisamente la sensibilidad del funcional frente a la alteración de los parámetros de diseño.

El cálculo del gradiente, como vamos a ver, es formalmente fácil de realizar aunque, cuando abordamos las aplicaciones reales a las que nos referimos, puede resultar sumamente costoso y complejo cuando el número de parámetros de diseño es elevado. Por ejemplo, en el ámbito del diseño de una aeronave el número de parámetros relevantes puede ser del orden del centenar, correspondiendo cada uno de ellos a diferentes elementos geométricos de la aeronave (alas, sustentadores, cola, motores, etc.) sin contar otros como los propios materiales de los que está constituida, tema de gran actualidad también en el mundo de la aeronáutica que comienza a incorporar nuevos materiales en sus modelos más vanguardistas.

En la práctica, el campo fluido u = u(Ω) obedece a las ecuaciones de la Mecánica de Fluidos en el exterior de la región Ω ocupada por la aeronave. Este sistema puede ser representado de forma abstracta del siguiente modo: ⁸

A(Ω)u(Ω) = b(Ω).

Figura 3: Izquierda: Mallado o triangulación del dominio computacional constituido por el exterior de una sección bidimensional de un ala. Centro: Mallado regular del plano. Derecha: Deformaciones de Hicks-Henne en el diseño de la sección 2 − d de un ala.

Al derivar estas ecuaciones con respecto a las deformaciones del dominio Ω, con el objeto de calcular la sensibilidad del fluido δu, con respecto a variaciones de la misma, se obtiene Aδu = δb − δAu, que es una ecuación semejante a las del propio campo fluido u, en las que en el segundo miembro interviene el propio estado del fluido u, que ya conocemos, y las variaciones del modelo (δA y δb) que podemos calcular a partir de los datos de los que disponemos sobre el mismo. En la práctica estas ecuaciones han de resolverse de manera aproximada mediante el uso de herramientas computacionales gracias a los ordenadores, discretizando el dominio fluido, y generando un mallado computacional. Cada nodo de este mallado es un punto en el que aproximamos la solución u.

Antes hablábamos del gran número de parámetros de diseño que se presentan habitualmente en las aplicaciones. En principio, a nivel computacional, la deformación de la geometría Ω (la sección bidimensional del ala en la Figura 3) podría realizarse moviendo cada nodo que está sobre su superficie, pero esto sería inmanejable. En la práctica no es esto lo que se hace sino que se identifican zonas o perfiles que deforman simultáneamente un cierto número de nodos, con unas formas predeterminadas, fruto de desarrollos analíticos o experimentales, como las que mostramos en la derecha de la Figura 3. A pesar de ello, el número de parámetros de diseño resulta aún del orden de las decenas y esto tiene un coste computacional excesivo.

Esto puede ser remediado por la técnica del “estado adjunto” que constituye una versión moderna de los clásicos multiplicadores de Lagrange que nos permite, mediante la resolución de un sólo sistema adicional, calcular la sensibilidad con respecto a cualquier parámetro.⁹