Es un problema en el que es crucial manejar toda la información y especialmente estar atentos a lo que dicen los demás.
Vamos a llamar a los tres hombres con sombrero A, B y C.

De acuerdo al enunciado del problema, C puede ver a A y a B, B solo puede ver a A y A no puede ver a nadie.
Si A y B tuviesen sombreros blancos, C sabría que el suyo debería ser negro, pues según se nos dice los tres sombreros no son blancos. Como C dice no saber el color de su sombrero tenemos que deducir que está viendo al menos un sombrero negro.

Es decir: al menos uno de los dos, A o B, tiene un sombrero negro. Si A tuviese el sombrero blanco, B sabría, por lo dicho antes, que el suyo tenía que ser negro. Como B dice no saber de qué color es el suyo, la única posibilidad que queda es que A tenga un sombrero negro.
Otra forma de decir lo mismo sería la siguiente:

Las posibilidades, colocando los sombreros en el orden de C-B-A, son las seis siguientes:

1.-bbb

2.-bbn

3.-bnb

4.-bnn

5.-nbb

6.-nbn

7.-nnb

8.-nnn

Ahora analizaremos enj detalle cada una de ellas, pero sabemos que :

   *  la opción 1. No está permitida por las reglas del enunciado.
   *  C no sabe, luego 5 no puede ser.
   *  B no sabe (y sabe que C no sabe), luego 3 y 7 no pueden ser.

Solo quedan las posibilidades 2, 4, 6 y 8. Luego A lleva un sombrero negro