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3. La resolución algebraica de la ecuación cúbica: tragicomedia en cuatro actos
Primer acto: los dos problemas de Zuanne de Tonini da Coi
Si atendemos al testimonio de Tartaglia, contenido en el diálogo mantenido con Zuanne de Tonini da Coi (Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XIV), en 1530 o antes Nicolás ya conocía una regla general para la resolución de la cúbica x3 + px2 = q (p, q > 0). Sin embargo, por aquel entonces Tartaglia desconocía el procedimiento para resolver cúbicas del tipo x3 = px + q.
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QUESITO XIV que me fue propuesta en Verona
por el Maestro Zuanne de Tonini da Coi, que tiene
una escuela en Brescia, y me la hizo llegar
Messer Antonio de Cellica el año 1530
MAESTRO ZUANNE. Encuentra un número tal que multiplicado por su raíz [cuadrada] más 3 sea igual a 5. De forma similar, encuentra tres números tales que el segundo sea igual al primero aumentado en 2, el tercero sea igual al segundo aumentado en 2, y cuyo producto sea 100.
N. M. Zuanne, me has mandado estos dos problemas como cuestiones imposibles de resolver o desconocidas por ti; porque procediendo por Álgebra, el primero conduce a 1. cubo más 3 censos iguales a 5 [x3 + 3x2 = 5] y el segundo a 1. cubo más 6 censos más 8 cosas iguales a 1000 [x3 + 6x2 + 8x = 1000, siendo x el número menor. Notemos que si se toma como incógnita el número mediano, se llega a la ecuación x3 = 4x + 1000]. Según F. Luca [Pacioli] y otros, estas ecuaciones son irresolubles por regla general. Tú crees que con estos problemas puedes superarme y aparentar que eres un gran matemático. He oído que haces lo mismo con todos los profesores de esta ciencia de Brescia, los cuales, por temor a estas cuestiones, no se atreven a hablar contigo y quizás saben más de esta ciencia que tú (…)
M.Z. Entiendo lo que me has escrito y que consideras tales casos como imposibles (…)
N. Yo no digo que dichos casos sean imposibles. De hecho, para el primer caso, el de cubo y censos iguales a número, estoy convencido de que he encontrado la regla general, pero por ahora quiero guardarla en secreto por varios motivos. Para el segundo, el de cubo y censos y cosas iguales a número, confieso que no he sido capaz de encontrar la regla general. Con esto no quiero decir que sea imposible encontrarla aunque hasta ahora no haya sido encontrada. No obstante, me apuesto diez ducados contra cinco a que no eres capaz de resolver con regla general ninguna de las dos cuestiones que me has propuesto. Deberías avergonzarte de proponer a otros algo que tu no entiendes, pero que finges entender, para aparentar que eres alguien importante.
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Segundo acto: El desafío entre Antonio María Fior y Nicolás Tartaglia
Parece ser que la primera persona que resolvió algebraicamente la ecuación de tercer grado x3 + px = q (p > 0, q > 0) fue Scipione del Ferro, profesor de la Universidad de Bolonia. Según Tartaglia (Quesiti et inventione diversi, libro IX, quesito XXV) lo hizo en 1506 y según Cardano (Ars Magna, capítulo XI) en 1515. Scipione nunca publicó su solución pero la dio a conocer a un reducido grupo de amigos entre los que se encontraba su discípulo Antonio María Fior.
El año 1535, Tartaglia fue retado por Antonio María a un torneo matemático en el que cada contendiente debía resolver treinta problemas propuestos por su adversario. Nicolás presentó una colección de cuestiones sobre aritmética, geometría y álgebra (sólo han llegado hasta nosotros cuatro de ellas).
Por su parte, Fior propuso una serie de problemas que se podían resolver mediante una cúbica del tipo x3 + px = q (p > 0 , q > 0)
Tartaglia resolvió los treinta problemas y ganó el desafío.
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Algunos problemas propuestos por Tartaglia
La primera cuestión, de las 30 que le propuse [a Antonio María Fior], si no recuerdo mal, decía:
Encuentra una cantidad irracional que multiplicada por su raíz [cuadrada] más 40 haga un número racional y discreto [x(√x+ 40) = a].
La segunda:
Encuentra una cantidad irracional que multiplicada por 30 menos la raíz [cuadrada] de dicha cantidad haga un número racional y discreto [x(30 – √x) = a].
La tercera:
Encuentra una cantidad que sumada al cuádruplo de su raíz cúbica haga 13 [x3 + 4x = 13].
La cuarta:
Encuentra una cantidad tal que restándole su raíz cúbica resulte 10 [x3 = x + 10].
Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XXV
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Los treinta problemas propuestos por Antonio María Fior
1. Encuentra un número que sumado a su raíz cúbica sea igual a 6 [x3 + x = 6].
2. Encuentra dos números en proporción dupla tales que si se multiplica el cuadrado del mayor por el menor, y este producto se suma a los dos números buscados, entonces el resultado es 40 [(2x)2·x + 2x + x = 40 ó 4x3 + 3x = 40].
3. Encuentra un número tal que si se cubica, y este cubo se suma al número, entonces resulta 5 [x3 + x = 5].
4. Encuentra tres números en proporción tripla tales que si se multiplica el cuadrado del menor por el mayor, y este producto se suma al número mediano, entonces el resultado es 7 [x2·9x + 3x = 7 ó 9x3 + 3x = 7].
5. Dos socios hacen compañía con un capital común de 900 ducados Si uno aporta la raíz cúbica de lo que aporta el otro, ¿cuánto aporta cada socio? [x3 + x = 900].
6. Dos hombres ganan 100 ducados y quieren repartírselos de forma que uno reciba la raíz cúbica del otro. Pregunto, ¿cuánto le corresponde a cada uno? [x3 + x = 100].
7. Encuentra un número que sumado al doble de su raíz cúbica sea igual a 13. [x3 + 2x = 13]
8. Encuentra un número que sumado al triple de su raíz cúbica sea igual a 15. [x3 + 3x = 15]
9. Encuentra un número que sumado al cuádruplo de su raíz cúbica sea igual a 17. [x3 + 4x = 17]
10. Divide el número 14 en dos partes de modo que una sea la raíz cúbica de la otra [x3 + x = 14].
11. Divide el número 20 en dos partes de modo que una sea la raíz cúbica de la otra [x3 + x = 20]
12. Un joyero vende dos joyas por 1900 ducados, un diamante y un rubí. El rubí se vende por la raíz cúbica del precio del diamante. ¿Cuánto vale el rubí? [x3 + x = 1900]
13. Un prestamista deja a una persona una cantidad de dinero con la condición de que al cabo del año le debe dar de interés la raíz cúbica del capital. Al cabo del año el prestamista recibe entre capital e intereses 800 ducados. ¿Cuál fue el capital prestado? [x3 + x = 800].
14. Haz de 13 dos partes tales que el producto de las dos sea igual al cuadrado de la parte menor multiplicada por sí misma [x3 + x = 13]
15. Un hombre vende un zafiro por 500 ducados obteniendo un beneficio igual a la raíz cúbica de su capital. ¿Cuál es este beneficio? [x3 + x = 500]
Los problemas siguientes (16-30) se refieren a la división de un número en dos partes tales que una es la raíz cúbica de la otra.
Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XXXI
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Tercer acto: Tercetos de tercer grado
Gerónimo Cardano se enteró del descubrimiento de Tartaglia relativo a la resolución de la cúbica x3 + px = q, y quiso incluirlo en su obra Practica Arithmetica Generalis que estaba a punto de terminar.
Cardano propuso al librero Zuan Antonio da Bassano, amigo de ambos, que visitase a Tartaglia con la esperanza de que le facilitase la regla general. Este encuentro tuvo lugar el 2 de enero de 1539 (Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XXXI). Tartaglia respondió en los siguientes términos:
Decidle a su excelencia que cuando quiera publicar mis descubrimientos lo haré en alguna de mis obras y no en las de otros.
Ante esta negativa, el emisario, siguiendo instrucciones de Cardano, solicitó a Nicolás que le facilitase las treinta cuestiones que le había propuesto Fior junto con sus resoluciones. Tartaglia accedió a la primera petición pero no a la segunda, dado que:
Una vez que él [Cardano] tuviese uno de dichos problemas con su solución entendería rápidamente la regla que he descubierto con la que podría encontrar muchas otras reglas relativas a tal materia.
Esta nueva negativa no desanimó a Zuan Antonio que, de inmediato, presentó a Tartaglia los siete problemas siguientes con la intención de que le facilitase sus métodos de resolución.
- Divide el número 10 en cuatro partes en continua proporción [en progresión geométrica] de modo que la primera sea igual a 2.
- Divide el número 10 en cuatro partes en continua proporción de modo que la segunda sea igual a 2.
- Encuentra cuatro números en continua proporción de modo que el primero sea 2 y la suma del segundo y el cuarto sea igual a 10.
- Encuentra cuatro números en continua proporción de modo que el primero sea 2 y la suma del tercero y el cuarto sea igual a 10.
- Encuentra cuatro números en continua proporción de modo que el segundo sea 2 y la suma del primero y el cuarto sea igual a 10.
- Haz de 10 tres partes en continua proporción de modo que el producto de la primera por la segunda sea 8.
- Encuentra un número que multiplicado por su raíz [cuadrada] más 3 haga 21.
Nicolás no cayó en la trampa y, por consiguiente, no resolvió los problemas. Así acabó la entrevista entre Zuan Antonio da Bassano y Tartaglia.
El 12 de febrero Cardano escribió una carta a Tartaglia en la que reiteraba su petición, pero éste permaneció firme en su decisión de no comunicar su fórmula aunque accedió a resolver dos problemas propuestos por Cardano.
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El primer problema
Haz de 10 cuatro partes en proporción continua, de modo que la suma de sus cuadrados sea 60.
Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XXXII
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La resolución de Tartaglia
Para resolver el problema anterior Tartaglia se sirvió de una interesante relación entre los cuatro primeros términos de una progresión geométrica. A saber:
Si I, II, III, IV son los cuatro primeros términos de una progresión geométrica, entonces:
Sean I, II, III, IV las partes buscadas y x = II + III.
Luego, I + IV = 10 – x.
En esta situación, resulta que:
A partir de aquí resulta que:
Con esto, resulta fácil determinar las cuatro partes requeridas.
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El 13 de marzo Cardano mandó una nueva carta a Tartaglia en la que le invitaba a su casa de Milán, prometiendo que le pondría en contacto con Alfonso de Ávalos, gobernador del Milanesado. Nicolás aceptó con la esperanza de presentar al gobernador sus recientes investigaciones en el campo de la artillería. La reunión se celebró el 25 de marzo de 1539.
Esta vez Gerónimo logró su objetivo y Tartaglia le reveló sus métodos para resolver las cúbicas (i) x3 + px = q , (ii) x3 + q = px , (iii) x3 = px + q (p , q > 0). Para ello, se sirvió de unos tercetos que se han hecho famosos en la historia de las Matemáticas. Cardano juró por los Santos Evangelios que no haría públicos los descubrimientos de Nicolás.
Presentamos la adaptación al castellano de los tres primeros tercetos [regla para la ecuación del tipo (i)] y su traducción al simbolismo algebraico moderno.
Cuando el cubo y las cosas juntas [x3 + px]
Se igualan a cualquier número discreto: [x3 + px = q]
Se buscan otros dos que difieran en él. [u – v = q]
Luego, tendrás por costumbre
Que su producto sea siempre igual
Al cubo de la tercera parte de las cosas conocidas. [uv = (p/3)3]
Como regla general, lo que queda
De la diferencia de sus raíces cúbicas
Será igual a tu cosa principal. [x =  ]
Desconocemos la forma en que Tartaglia descubrió esta regla, pero bien pudo ser del modo siguiente.
Se sabe que:
De donde:
Entonces:
Si se compara la identidad anterior con la ecuación x3 + px = q que se quiere resolver, resulta que:
En consecuencia, la regla de Tartaglia es correcta.
Sólo queda obtener la expresión de x en función de p y q.
Entonces, dado que la ecuación x3 + px = q tiene una única solución real positiva, se tiene que:
Por tanto:
Dicha expresión se conoce como fórmula de Tartaglia-Cardano.
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Tartaglia, Nicolás Fontana (ca.1499-1557) - Página 3
