1. Introducción

En esta segunda columna de la serie Modelos computacionales de ritmo y métrica, vamos a tratar el recuento y la generación de ritmos con técnicas combinatorias.. En la primera columna [Góm], hicimos una breve recensión de los dos primeros capítulos del libro Computational Models of Rhythm and Meter de Boenn [Boe18]. En el primer capítulo se examinaba la definición de ritmo desde un punto de vista abstracto y filosófico; en el segundo, se definió la notación SNMR.

2. Recuento de listas

Esta sección tendrá un carácter indagatorio y orgánico. Empezamos considerando un entero positivo n > 1. Este entero representará el número total de pulsos de nuestro ritmo. Asociado a todo ritmo, tenemos k, otro entero positivo con 1 ≤ k ≤ n, que representa las notas del ritmo o ataques. Así, el ritmo

lo representamos por la lista R₁ = (2,2,2,3). Marcamos en negrita la palabra lista como definición, la cual quiere decir que el orden de los elementos es importante y distingue entre listas (ritmos). Así, el ritmo R₂ = (3,2,2,2) tiene un orden distinto de los elementos y es, por tanto, una lista y un ritmo distintos.

2.1. Permutaciones sin y con repetición

Investiguemos las listas un poco más en abstracto (el lector se lo merece). Tomemos un conjunto A = {a₁,a₂,…,a_n} de n elementos donde los elementos son distintos entre sí (esto es, a_i≠a_j si i≠j). ¿Cuántas listas distintas se pueden formar con los elementos de A? Este es un argumento clásico. Para el primer elemento de la lista, tenemos n posibilidades, los n elementos de A. Para el segundo elemento, dado que no podemos usar el elemento de la primera posición, hay n - 1 posibilidades. Razonando así hasta completar la lista entera, llegamos a que hay n ⋅ (n - 1) ⋅… ⋅ 2 ⋅ 1. El número anterior se llama factorial de n y se escribe

Este argumento se puede ilustrar con el siguiente árbol, donde hemos hecho que A = {a,b,c}:

El número de listas formadas por un conjunto de n elementos no repetidos se llama permutaciones sin repetición y se designa por P_n. Por lo visto antes, P_n = n!.

¿Qué ocurre si a continuación eliminamos la restricción de la repetición? Supongamos que tenemos un conjunto A de n elementos formado como sigue:

donde n = k₁ + k₂ + … + k_m. ¿Cuántas listas distintas se pueden formar con los elementos de A? Si hay repetidos, esto quiere decir que las permutaciones entre los elementos repetidos del mismo tipo dará lugar a la misma selección. Las repeticiones se quitan dividiendo por las permutaciones de la repetición. Por tanto, el número de listas ordenadas formadas con elementos de A, donde hay m grupos de elementos repetidos es:

Este número se designa por PR_n^k₁,…,k_m, donde k₁,…,k_m son los elementos repetidos

En el caso del ritmo de arriba R₁ = (2,2,2,3), está claro que el conjunto de listas distintas es:

de las cuales hay 4. Si calculamos ese número, obtenemos PR₄³ = = = 4, como era de esperar.

3. Los ritmos aksak

Los ritmos aksak son ritmos que tienen solo dos duraciones posibles en términos de distancias, 2 o 3, y han de contener al menos un 2 y al menos un 3. Este tipo de ritmos aparecen en varias tradiciones musicales, entre ellas la música turca o la música búlgara. Autores como Simha Arom [Aro04], Brăiloiu [Bra51], Cler [Cle94], y en conexión con los ritmos euclídeos Demain y coautores [DGMM⁺09]. Arom clasificó los ritmos aksak para valores del número de pulsos n entre 5 y 29 y proporcionó una clasificación teórica. En su clasificación de ritmos aksak delinea tres categorías:

• Un ritmo aksak se dice que es auténtico si n es primo.
• Cuando n es impar pero no es primo, el ritmo aksak es llamado quasi-aksak.
• En caso de que n sea par, el ritmo aksak se denomina pseudo-aksak.

A continuación listamos algunos ritmos aksak junto con sus categorizaciones (los representamos con la notación de notas y silencios, la notación de distancias y la notación SNMR):

Ritmos aksak auténticos:

• [×⋅×⋅ ⋅ ]= (23))=I-, ritmo que se encuentra en la música clásica y en la música de entre otros Grecia, Macedonia, Namibia o Ruanda.
• [×⋅×⋅×⋅ ] = (223)=II-, ritmo que se encuentra en la música de Bulgaria, Grecia, Sudán y Turquía.
• [×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ]=(3332)=—I, ritmo que puede oír en la música del sur de la India.
• [×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]= (22223), ritmo que se encuentra en Bulgaria, el norte de la India y en Serbia, por nombrar unos pocos ejemplos.
• Los ritmos [×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(32323)=-I-I- y [×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(222223)= =IIIII- se encuentran en la música de Macedonia.
• Otros ritmos aksak auténticos de la tradición búlgara son: (3232322), (22222223), (32232232), o (323232323).

Como ejemplos de ritmos quasi-aksak tenemos:

• [×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(2223)=III-, que se pueden escuchar en la música de Grecia, Macedonia, Turquía o Zaire.
• El ritmo búlgaro [×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(2222223)=IIIIII-.

Por último, los siguientes son ritmos pseudo-aksak:

• [×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ]=(332)=–I, ritmo que se encuentra con frecuencia, por ejemplo, en la música de África central, Grecia, India, Latinoamérica, África del oeste o Sudán.
• [×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ]=(32322)=-I-II, que se encuentra en música de Macedonia o Sudáfrica.

Sea R un ritmo aksak de n pulsos con r doses y s tres. El número de ritmos aksak que hay con esos r doses y s treses es:

Además, se cumple la siguiente relación entre n,r y s:

Esta última relación es una ecuación diofántica y se puede usar para generar y contar ritmos aksak. Una ecuación diofántica es una ecuación de la forma c = ax + by, donde a,b,c son números enteros. El siguiente teorema determina cuándo hay solución y cuando existen cómo se calculan las soluciones. Cuando hay solución, existen infinitas soluciones como vemos en el enunciado del teorema.

Teorema. Resolución de ecuaciones diofánticas. Sean a,b,c tres números enteros, y sea d = mcd(a,b). Se considera la ecuación diofántica c = ax + by. Entonces:

(1) Si d no divide a c, entonces la ecuación diofántica no tiene solución.

(2) Si d divide a c, entonces la ecuación diofántica tiene infinitas soluciones de la forma

	x = x0 + m,
	y = y0 -m

donde m ∈ ℤ y x₀,y₀ son soluciones particulares de la ecuación diofántica.

Aplicando el teorema a la relación (1) de arriba, vemos que el máximo común de 2 y 3 es 1 (son primos ambos números) y, por tanto, la ecuación (1) siempre tiene solución por el apartado (2) del teorema. La solución particular es, por ejemplo, x₀ = -n,y₀ = n, ya que 2x₀ + 3y₀ = -2n + 3n = n. Se sigue que la solución general es:

Fijado n, basta encontrar los valores de m que dan valores positivos de x,y (recuérdese que un ritmo aksak exige que haya al menos un 2 y un 3). Pongamos el ejemplo de los ritmos aksak de n = 17 pulsos. Según el teorema, las soluciones de x e y son, respectivamente, x = -17 + 3m,y = 17 - 2m. El valor m = 6 es el primer valor para el que x e y son positivos. La taba siguiente muestra los resultados:

4. Combinaciones sin y con repetición

La diferencia entre una lista y un conjunto es que en la primera el orden importa y en el segundo no. En los conjuntos el orden no importa; de hecho, la definición de conjunto habla de una colección no ordenada de elementos. Sea A = {a₁,…,a_n} un conjunto de n elementos distintos. El número de listas de tamaño n es, como sabemos, P_n = n!. Si ahora queremos contar el número de subconjuntos tenemos que usar argumentos adicionales para contarlos.

En primer lugar, vamos a estudiar cómo contar el número de listas de tamaño k, donde 1 ≤ k ≤ n. Usando el argumento de más arriba, tenemos n posibilidades para la primera posición de la lista, n - 1 para la segunda y, siguiendo este proceso, tendremos n - k + 1 para la posición número k. Por tanto, el número final será n ⋅ (n - 1) ⋅… ⋅ (n - k + 1). Este número se llama variaciones sin repetición de n tomados de k en k o más corto V _n,k. Este número se puede escribir como:

Continuemos. Sea L = (a_i1,…,a_ik) una de esas listas. Cuando esta lista se transforma en un subconjunto, cualquier permutación de L da lugar al mismo subconjunto. Hay k! permutaciones de L y, por tanto, el número de subconjuntos de tamaño de k de A, al que llamaremos C_n,k, es:

Se llaman combinaciones sin repetición de conjuntos a los subconjuntos de tamaño k formados con los elementos de un conjunto dado, donde se supone que en el conjunto no hay elementos repetidos. Se designarán por C_n,k o por (n k) .

Por último, pedimos al lector que trate de resolver la ecuación

donde n,k son números enteros no negativos.

¿Alguna idea? He aquí una ingeniosa idea para resolverla. Consideremos el conjunto formado por un palote ∣ y un signo +. Queremos formar todas las listas distintas con n palotes y k - 1 signos más. Como los palotes y los signos más son indistinguibles entre sí, las listas difieren en la posición de los palotes y signos más. Cada lista da lugar a la solución de la ecuación x₁ + x₂ + … + x_k = n sin más que contar los palotes entre dos signos más consecutivos. Y viceversa, una solución de x₁ + x₂ + … + x_k = n da lugar a una lista de palotes y signos más. Vamos a contar esas listas pues. En vista de lo aprendido arriba, hay P_n+k-1 = (n + k - 1)! listas. Como se repiten los palotes, de los que hay nk, y las signos más, de los que hay k - 1, tendremos que dividir por n! y (k - 1)!. Así que el número de las listas es:

que son las combinaciones de n + k - 1 tomadas de k - 1 en k - 1.

5. Particiones de enteros y ritmos

Dado un ritmo de n pulsos, las soluciones positivas de la ecuación x₁ + x₂ + … + x_k = n nos da todos los ritmos de k notas. La sucesión de distancias de ese ritmo sería sencillamente R = (x₁,x₂,…,x_k). La siguiente tabla muestra cómo se generan ritmos a partir de esta ecuación:

Dado un ritmo R = (x₁,x₂,…,x_k), donde los x_i son positivos todos, hay

ritmos posibles con esa configuración de distancias. Por ejemplo, del cuarto ritmo de la tabla de arriba (3,1,1) hay 3!∕2! = 3 ritmos distintos, que son (3,1,1),(1,3,1),(1,1,3). Obsérvese que aquí k = 3 porque x₄ = x₅ = 0. Cuando todas las x_i son diferentes, el número de ritmos es simplemente k!.

6. Notación SNMR

Cuadro con la notación SNMR:

Bibliografía